Теория групп задача.

[defolt87]

Задача: При каких значениях $r \in R,r \geqslant 0$ множество комплексных чисел с модулем, равным $r$, является группой по умножению?
Пробовал решать так: т. к. Комплексные числа(без элемента $(0,0)$?) это группа по умножению, то группа образованная комплексными числами с модулем $r$, это её подгруппа. Соответственно там должен содержаться нейтральный элемент группы $(1,0)$ его модуль равен $1$, значит ответ получается при $ r=1 $ и ни каких других $r$ не будет.
Вроде все верно, но все же терзают сомнения, подскажите пожалуйста верно или нет, если нет то наведите на мысль.

[nnosipov]

Из Вашего рассуждения ясно, что при $r \neq 1$ указанное множество не будет подгруппой. А почему при $r=1$ оно образует подгруппу? Вот этот момент остался за кадром.

[defolt87]

Спасибо, интересный вопрос попробую разобраться.

-- 01.01.2013, 19:23 --

т.е. вопрос сводится замкнуто или нет умножение комплексных чисел с коэффициентами при мнимой и действительной частью из $[0,1]$?

-- 01.01.2013, 19:36 --

написал глупость.

[defolt87]

Если $z=(a;b), x=(c;d),$ то $z \cdot x = (a,b) \cdot (c,d)=(ac-bd;bc+ad)$ и из условий:
1)$ a^2 + b^2 =1$
2)$ c^2 + d^2 =1,$
следует
3) $(ac - bd)^2 + (bc + ad)^2 = 1$, то комплексные числа с модулем $r=1$, образуют группу.
Но вот как из п. 1. и 2. может следовать 3. понятия не имею, подскажите пожалуйста :_(

[nnosipov]

Что можно сказать про модуль произведения двух комплексных чисел?

[defolt87]

Модуль произведения равен произведению модулей)
Вот попробовал сделать так вроде вышло $(ac-bd)^2 + (bc + ad)^2=a^2c^2 - 2acbd + b^2d^2 + b^2c^2 +2bcad+a^2d^2 = a^2c^2 + b^2d^2 +b^2c^2 +a^2 d^2=a^2(c^2+d^2)+b^2(c^2+d^2)=(a^2 + b^2)\cdot(c^2 + d^2)$

-- 01.01.2013, 22:00 --

Ну и соответственно $1 \cdot 1 = 1$, значит $(ac-bd)^2 + (bc + ad)^2 = 1 $, следовательно комплексные числа с модулем 1 образуют группу)) вроде так?

-- 01.01.2013, 22:03 --

Спасибо огромное за помощь.

[nnosipov]

defolt87 в сообщении #665953 писал(а):

вроде так?

А если рассмотреть множество комплексных чисел, чей модуль больше нуля, но меньше единицы? Они тоже группу образуют? Ведь произведение двух таких чисел снова будет числом такого вида.

Вспомните про ещё одну вещь.

[defolt87]

Думаю нет потому, как там не будет нейтрального элемента

-- 01.01.2013, 22:31 --

эта вещь на которую вы намекаете обратный элемент?

-- 01.01.2013, 22:51 --

Надо доказать, если $z=(a,b)$ и $a^2 + b^2 = 1$, то $\left(\frac{a}{|z|^2}\right)^2 +\left (-\frac{ b}{|z|^2}\right)^2 = 1$ ;

-- 01.01.2013, 23:09 --

$\left(\frac{a}{|z|^2}\right)^2 +\left (-\frac{ b}{|z|^2}\right)^2 = \frac{a^2}{|z|^4}+\frac{b^2}{|z|^4}=\frac{a^2 + b^2}{|z|^4}$, где $|z| = 1, a^2+b^2 =1$, следовательно $\left(\frac{a}{|z|^2}\right)^2 +\left (-\frac{ b}{|z|^2}\right)^2 =\frac{1}{1}=1$.

[bot]

Случай $r=0$ тоже годится.

[nnosipov]

defolt87 в сообщении #665965 писал(а):

эта вещь на которую вы намекаете обратный элемент?

Точно.

[defolt87]

bot в сообщении #666026 писал(а):

Случай $r=0$ тоже годится.

Точно. Значит решения $r= \lbrace 0;1 \rbrace $