Докажите линейную зависимость

[xmaister]

Пусть $v_0\in\mathbb{R}^n$- нуль и $v_1,\ldots ,v_{n+1}$- такие векторы, что $\|v_i-v_j\|\in\mathbb{Q}, 0\le i,j\le n+1$. Докажите, что $v_1,\ldots ,v_{n+1}$- линейно зависимые над $\mathbb{Q}$.

-- 31.12.2012, 18:11 --

З.Ы. С наступающим!

[Dave]

Любые $n+1$ вектора в $\mathbb R^n$ являются линейно зависимыми по крайней мере над $\mathbb R$. Выберем из векторов $v_1,\ldots ,v_{n+1}$ минимальный набор линейно зависимых над этим полем и выразим один вектор из этого набора (обозначим этот вектор $u$) как линейную комбинацию остальных (обозначим набор остальных $V$). Умножая эту комбинацию скалярно на все вектора из $V$, получим, что все коэффициенты этой линейной зависимости являются решением некоторой системы линейных уравнений, коэффициентами которой являются исключительно скалярные произведения пар векторов $v_i$. При этом, в силу минимальности набора $u \cup V$, указанная система заведомо невырождена, т.к. определитель Грама системы векторов $V$ не равен нулю. Таким образом, коэффициенты, выражающие $u$ через вектора $V$, находятся как рациональные комбинации скалярных произведений, т.е. сами являются рациональными ввиду тождеств

$$(v_i,v_j)=\frac {\|v_i\|^2+\|v_j\|^2-\|v_i-v_j\|^2} 2.$$

Получается, что достаточна даже рациональность только квадратов.

Всех с Новым годом!