Магические числа

[Руст]

Пример

$$991^1=991, 991=991$$

$$991^2=982081, \ 982+0+8+1=991,$$

$$991^3=973242271, \ 973+2+4+2+2+7+1=991,$$

$$991^4=964483090561, \ 9+6+44+830+90+5+6+1=991,$$

$$991^5=955802742745951, \ 9+5+5+8+0+27+427+459+51=991,$$

....

$$991^{71}=...... \ .. +...=991$$

Это 71 кратное магическое число. Докажите, что для любого $n$ существует $n$ кратное магическое число A, такое, что для любой степени $1\le k\le n$
из десятичной записи числа $A^k=a_1a_2.....$ проставлением некоторого количества плюсов (между цифрами) получим опять число А.
Найдите хотя бы одно из 2013 кратных магических чисел.

[Shadow]

Руст Я наверное чего-то не понял. Есть ли ограничения на A? Вот например тривиальное решение.
$\\10^1=10\\ 10^2,10+0=10\\ \cdots\\ 10^{2013},10+0+0+\cdots=10$


Поздравляю всех Новым годом!

[Руст]

Да, естественно имелось в виду, число А не является степенью 10. Считайте, что последняя цифра не 0, так как всегда их можно зачеркнуть не меняя это свойство.
Я так же присоединяюсь к поздравлению всех с Новым годом.

[maxal]

http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_668.htm