Доказательство, геометрия

[Clever_Unior]

Здравствуйте, не выходит доказать или наоборот , опровергнуть следующее утверждение:
Равноудаленная от концов отрезка точка лежит в плоскости срединного перпендикуляра ( задача для любого N-мерного пространства ).

Для двумерного доказательство мне очевидно, а для трехмерного и больше не могу доказать :(

Подскажите, пожалуйста идею решения, или само решение !

[nnosipov]

Есть такая штука --- аналитическая геометрия. Что тут думать, формулы писать надо.

[Clever_Unior]

Ну , для трехмерного пространства : если разместить центр координат в какой-то из точек , то координаты этой точки станут равны (0;0;0), и записав условие, мы получим уравнение:
$\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2}$
$x_1\cdot(2\cdot x-x_1)+y_1\cdot(2\cdot y-y_1)+z_1\cdot(2\cdot z-z_1)=0$
Но я не могу понять , что из этого уравнения следует...

[cool.phenon]

Нерационально вы подходите. На то она и аналитическая геометрия, что начало можно выбирать там,где нам удобно. Выберите начало так,чтобы оно было посередине отрезка,а какая-то из осей совпадала с серединным перпендикуляром. Сделайте аналогичные преобразования, получите уравнение серединной плоскости.

[Clever_Unior]

Спасибо , тема закрыта