Предел

[Limit79]

$\lim\limits_{x \to 1} \frac{\ln(1+ \sin(\pi x))}{\arctg(x-1)}$

Заменяю $t=x-1$, тогда:

$\lim\limits_{x \to 1} \frac{\ln(1+ \sin(\pi x))}{\arctg(x-1)} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{\ln(1+ \sin(\pi \cdot (t+1)))}{\arctg(t)}$

Далее по эквивалентности:

$\lim\limits_{t \to 0} \frac{\ln(1+ \sin(\pi \cdot (t+1)))}{\arctg(t)} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{ \sin(\pi \cdot (t+1))}{t} $

А здесь ступор. Видимо надо как-то привести это к первому замечательному пределу... если бы в синусе было бы просто $\pi t$, то понятно как, а вот если, как тут $\pi t + \pi$ ...

[Cash]

Действительно переклин у Вас.
$\sin(x+\pi)=$
Можно на окружности посмотреть, можно тупо синус суммы...

[Limit79]

Cash
И на самом деле Спасибо большое!