Теорема Кэли. Теория групп.

[defolt87]

Вопрос по доказательству теоремы Кэли - "Всякая конечная группа изоморфна некоторой группе подстановок".
Суть доказательства заключается в следующем:
1) Каждому элементу конечной группы $G$ размерности $n$ ставится в соответствие подстановка из $S_n$ (соответствие это взаимно однозначное).
2) Получаем множество подстановок, доказываем что это группа, относительно умножения подстановок.
3) Доказываем что $S_n \simeq G $.
Вопрос мой по пункту 1, не могу разобраться как строится это соответствие, как именно мы ставим в соответствие элементу $a_i \in G$ элемент $s_i \in S_n$ ?
Подскажите пожалуйста, либо объясните на конкретном примере.

[AV_77]

Если $G = \{ a_1, a_2, \ldots, a_n \}$, то элементу $a_i$ соответствует подстановка

$$ s_i = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_n \\ a_1a_i & a_2a_i & \ldots & a_n a_i \end{pmatrix}. $$

В доказательстве теоремы все это написано. Если, например $G = \mathbb{Z}_3$, то получаем подстановки

$$ s_0 = \begin{pmatrix}0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}, s_1 = \begin{pmatrix}0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}, s_2 = \begin{pmatrix}0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$

[lek]

1) Занумеруйте элементы группы $G$. Умножьте слева на произвольный элемент группы, получите перестановку (подстановку). Группа всех таких левых подстановок изоморфна самой $G$ (докажите!).
3) Не верно. Правильно будет $G\simeq H\subseteq S_{n}$.

[defolt87]

Спасибо за ответы, пример и поправку п. 3. сделал понял).