Космология Вселенной

[Munin]

Ascold в сообщении #828540 писал(а):

Мне кажется, что этот факт должен следовать из решения ур-й Эйнштейна, или же Вы видите это сразу из формулы(111.7) ЛЛ2?

Чёрт, я вынужден извиниться, что ввёл вас в заблуждение. Я перепутал две вещи: пространственную замкнутость (в § 111) и временну́ю (в § 112). В пространстве мы описываем сферу координатами $r$ или $\chi.$ При этом, $\chi$ меняется $\chi\in[0,\pi],$ а вот $r=a\sin\chi$ при этом сначала возрастает $r\in[0,a],$ а потом убывает в том же диапазоне; и хотя координаты $r$ повторяются, но на самом деле, это другой координатный лист - вторая половина сферы, "дальняя" от начала координат. Использование переменной $\chi$ позволяет рассматривать всё на одном координатном листе.

Это всё "следует" из (111.7) (точнее, сама (111.7) следует из этого, но полностью не эквивалентна, поскольку теряет сведения о координатных листах), а к решению уравнения Эйнштейна и к эволюции по времени отношения пока не имеет. Здесь рассматривается только форма пространства (а не пространства-времени), а какая она - задано постулатами о том, что Вселенная однородна и изотропна.

----------------

С другой стороны, аналогичная ситуация имеет место в эволюции замкнутой модели во времени (без Λ-члена, подчёркиваю, то есть чисто классический Фридман). Эта эволюция рассмотрена в § 112, и выведена уже из уравнения Эйнштейна (см. (112.5)). Тут, совершенно аналогично, полное многообразие состоит из двух "половин", которые можно описать либо с помощью величины $a,$ либо с помощью величины $\eta,$ причём $\eta\in(0,2\pi),$ а $a=a_0(1-\cos\eta)$ сначала проходит диапазон $a\in(0,2a_0]$ по возрастанию, "в эпоху расширения Вселенной", а потом обратно его же - по убыванию, "в эпоху сжатия Вселенной". Эти две стадии задавали бы два координатных листа, если бы мы использовали $a$ как координату. Но если мы используем как координату $\eta,$ или взаимно-однозначно ей соответствующую $t,$ то мы можем обойтись одним координатным листом.

Ascold в сообщении #828540 писал(а):

Я из неё вижу лишь, что не может быть r=a

Ну да, по этой формуле можно подходить к этой границе только в пределе. Но на самом деле, метрика там не заканчивается - заканчивается только координатный лист.

Ascold в сообщении #828540 писал(а):

Где можно почитать доказательство этого факта?

Хм-м-м... не помню. Я себя ощущаю как сороконожка, которую спросили, как она ходит :-) Попробуйте задать этот вопрос в математическом разделе форума. Это какой-то факт из линейной алгебры, и даже может быть, я вспомнил его неправильно.

[Ascold]

Спасибо, понял. Интересно, нету ли алгоритма поиска таких координат, с помощью которых пространство заведомо охватывается одним координатным листом?