Оценка для одного интеграла

[arqady]

Докажите, что для всех натуральных $n\geq2$ верно следующее неравенство:

$$ \int\limits_{1}^{e}\sqrt[n]{lnx}dx\leq\sqrt[n]{e^{n-1}}$$

[gris]

Я вот до чего только додумался.

$$ \int\limits_{1}^{e}\sqrt[n]{\ln x}\,dx= \int\limits_{1}^{e}x\sqrt[n]{\ln x}\,d\ln x= \int\limits_{0}^{1}e^x\sqrt[n]{x}\,dx=...\leqslant\sqrt[n]{e^{n-1}}$$

А правая часть точно такая? Мне показалось, что при очень больших $n$ интеграл стремится к $e-1$ и оценка получается грубоватой. Или там важны небольшие $n$?

Кстати, равенство достигается при $n=1$

[vmg]

Площадь подграфика подинтегральной функции оценивается $e-1$.
$e-1<e^{\frac{n-1}{n}}\Leftrightarrow e-1<\left(1+\frac{1}{e-1}\right)^{n-1}$.
При $n\ge3$ последнее неравенство верно.
Для $n=2$ достаточно оценить площадь подграфика суммой площадей двух прямоугольников -
с основаниями $[1;\sqrt[4]{e}]$ и $[\sqrt[4]{e};e]$.