Проблема с параболическим сплайном.

[Lumax]

Добрый день. Передо мной стоит следующая задача.Как мы знаем для параболического сплайна граничными условиями являются первая производна либо в точке $x_0$,либо в $x_n$ (ссылка http://www.ysu.ru/users/itc/sitim/e-boo ... ava1-5.pdf ). У меня задание пересчитать коэфициенты если дана вторая производная в точке $x_0$.
Я делал следующее, из 1 условия получается $a=y_i$. добавил еще одно условие о условия непрерывности второй (прям как в кубическом). От туда все с константы и равны $B_0/2$,где$ B_0$ это значение второй производной в $x_0$.
ну а $b_i$ выразил из 5.9 той книги что привел ссылку. Проблема вся в том что на тестовом примере получается большая погрешность. Тестовый пример $ \sqrt{x}$. заданный на $x=1/4,1,4,9;y=1/2,1,2,3$.
Что-то не так с логикой нахождения или ошибка где-то еще ???

[AKM]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам: запись формул.


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[ewert]

Lumax в сообщении #664643 писал(а):

добавил еще одно условие о условия непрерывности второй (прям как в кубическом)

У сплайна дефект не может быть меньше единицы. Соответственно, требовать для квадратичного сплайна непрерывности второй производной -- бессмысленно.

Задание второй производной на левом конце однозначно определяет квадратичный сплайн на первом участке и, соответственно, его первую производную на левом конце. Вот это фактически и окажется граничным условием.

[Lumax]

а можно узнать где про это можно посмотреть подробно? Книжку или ссылку на статью.
А как тогда вывести коофициенты ???

[_Ivana]

Если у нас сетка $N$ точек, то параболический сплайн состоит из $N-1$ парабол, то есть $3(N-1) = 3N - 3$ неизвестных коэффициентов. Если взять условия прохождения сплайна через точки сетки, получим $2(N-2) + 2$ уравнений, добавим условия непрерывности первой производной во внутренних узлах сетки - получим ещё $N-2$ уравнений, итого $3N - 4$ уравнений. Для однозначного решения системы не хватает ровно одного уравнения - его мы можем получить, задавая значение любой производной в любой точке сетки.

Теперь о грустном . Как уже сказал ewert, задавая любое дополнительное условие в любой точке сетки, мы однозначно определяем полином сплайна на этом интервале. И этот однозначно полученный полином жестко задаст свои первые производные в краях интервала, так что у соседних полиномов тоже не будет никакого выхода, как принять их как данность (напомню, что полином второй степени определяется тремя параметрами, на которые у нас уже есть 2 условия - полином проходит через узлы сетки в краях интервала, и приплывшее с любого боку третье условие на первую производную однозначно определяет параболу), и это безобразие у нас будет тянуться бесконечно в обе стороны от той точки, в которой мы имели несчастье задать это последнее условие. В результате получается, что сплайн "идет вразнос" - то есть точность аппроксимации исходной функции никак не обеспечивается - она приносится в жертву в угоду непрерывности первой производной при втором порядке сплайна. Та же печальная картина получается при построении глобального кубического сплайна и задании дополнительных условий не в краях сетки, а в какой-либо одной точке или близких точках.

[Lumax]

Если честно по мне это не самая легкая задача. Извините,за отнятое время.

[Утундрий]

Lumax
Посмотрел ссылку и просто-таки невыносимо захотелось напомнить о функции
$\[ \left( x \right)_ + \equiv \left\{ {\begin{array}{*{20}c} x \hfill & \text{если} \hfill & {x > 0} \hfill \\ 0 \hfill & \text{иначе} \hfill & {} \hfill \\ \end{array} } \right. \] $