ряды

[MathKvant]

Числовой ряд $\sum 1/\ln^{\ln\ln(n)}n$ вроде ряд должен сходится но расходится и по какому признаку не понятно. Пробовал радикальный признак, даламбера, в Тейлора раскладывать ничего не выходит, остаётся оценить но с помощью чего?
$\sum (-1)^n\ln(1+2/n)$
Оценим так $\ln (1+x)\sim x$ тогда $2/n=O(1/n)$ абсолютно расходится что с условной делать?

[AV_77]

Интегральный признак?

[ИСН]

Ясно же, что $\ln\ln n$ в любой степени гораздо медленнее, чем $0.001\ln n$, а значит, Ваш ряд убывает медленнее гармонического.
Неясно, откуда вообще взялся вопрос про условную сходимость. Положительный ряд же.

-- Чт, 2012-12-27, 22:13 --

А, это два разных, что ли?
Ну тогда во втором там можно все логарифмы собрать в один. По-моему, толк будет.

[MathKvant]

то есть собрать в один?

[gris]

А признак Лейбница разве не работает?

[ИСН]

А по спине лопатой не?

[gris]

Бывает и по спине, но Лейбница чаще-с.
Второй предел можно, конечно, и точно посчитать, но надо возиться с сокращением, да ещё анализировать частичное произведение (сумму), а то чего только не бывает. А если надо просто сходимость определить, то зачем?

[ewert]

MathKvant в сообщении #664612 писал(а):

остаётся оценить но с помощью чего?

Похоже, что составителями загадывалось $\ln^{\ln\ln(n)}n=e^{\ln^2\ln(n)}<e^{\ln(n)}$. Последнее очевидно, т.к. $\ln^2x\ll x$.

-- Пт дек 28, 2012 08:40:20 --

ИСН в сообщении #664616 писал(а):

Ясно же, что $\ln\ln n$ в любой степени гораздо медленнее, чем $0.001\ln n$, а значит, Ваш ряд убывает медленнее гармонического.

Сходится или расходится ряд $\sum\dfrac1{\ln^{0.001\ln n}n}$?

[ИСН]

gris в сообщении #664715 писал(а):

Второй предел можно, конечно, и точно посчитать, но надо возиться с сокращением, да ещё анализировать частичное произведение (сумму), а то чего только не бывает. А если надо просто сходимость определить, то зачем?

Ну как "зачем"? Я чуть было не заставил человека освежить в памяти такую кучу разделов математики, а тут Вы со своим Лейбницем. Эх!

ewert в сообщении #664720 писал(а):

Сходится или расходится ряд $\sum\dfrac1{\ln^{0.001\ln n}n}$?

А это при чём тут вообще? Я имел в виду примерно вот что:

ewert в сообщении #664720 писал(а):

Последнее очевидно, т.к. $\ln^2x\ll x$.

[MathKvant]

Всем спасибо, идею понял.
Теперь степенной ряд.
Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда.
$\sum\sqrt[3]{\frac{2^n(n!)^2}{(2n+1)!}}(x+1)^{2n} $
$R=\lim_{n \to \infty}|\frac{c_n}{c_{n+1}}|$. Когда все подсчитаем, получим $R=\sqrt[3]{2}$
И $|x+1|<\sqrt[3]{2}$Как исследовать поведение ряда на концах? Число кривое, поэтому подставить напрямую не удастся

[ewert]

MathKvant в сообщении #667003 писал(а):

Число кривое, поэтому подставить напрямую не удастся

Число вполне прямое, просто Вы явно криво его подставляете. А если подставить прямо, то дальше проще всего использовать формулу Стирлинга. Или, если захочется мазохизма -- поковыряться с каким-нибудь там Раабе.

(Да, кстати: и число не совсем такое -- ряд-то ведь не совсем стандартно степенной.)

[MathKvant]

Ошибка в том, что $(x+1)^{2n}$. Тогда $(x+1)^2<R$?

[MathKvant]

Так верно или нет? И как тогда должно быть?

[gris]

Верно, ведь признак дал значение радиуса для "сплошного по степеням" ряда с положительными коэффициентами, подразумеваемого после замены переменной.