Избавление от неопределенности делением на ст. член.

[TamaGOch]

$\lim_{x \to \infty}((x+1)^{\frac23}\cdot(x-2)^{\frac13}-x) = \lim_{x \to \infty}((x+1)^{\frac23}\cdot(x-2)^{\frac13}-\frac{1}{\frac1x}) = \lim_{x \to \infty}(\frac{\frac1x\cdot(x+1)^{\frac23}\cdot(x-2)^{\frac13}-1}{\frac1x}) = \lim_{x \to \infty}(\frac{-\frac{1}{x^2}\cdot(x+1)^{\frac23}\cdot(x-2)^{\frac13}+\frac1x\cdot\frac23(x+1)^{-\frac13}\cdot(x-2)^{\frac13}+\frac1x\cdot\frac13\cdot(x+1)^{\frac23}\cdot(x-2)^{-\frac23}}{-\frac{1}{x^2}}) = \lim_{x \to \infty}((x+1)^{\frac23}\cdot(x-2)^{\frac13} - \frac23\cdot x\cdot(\frac{x-2}{x+1})^{\frac13}-\frac13\cdot x\cdot(\frac{x+1}{x-2})^{\frac23})$
Можно ли избавиться от неопределённости делением на старший член? Тогда получу вот так:
$... = \lim_{x \to \infty}(1-\frac23\cdot \frac{x}{x+1} - \frac13\cdot \frac{x}{x-2}) = 0$

[gris]

Нет такого правила. Название есть, но оно относится к отношению (например, многочленов).
Тут я бы скрепя сердце честно домножил на неполный квадрат суммы, чтобы избавиться от кубического корня. А вот потом можно и поделить на старший член. Только одновременно и Ч, и З.

[bot]

(Оффтоп)

Вот такая странная феномена - очень часто стала встречаться. Вряд ли кто будет утверждать, что при делении некоторой величины на другую, отличную от единицы, делимое не изменится, но стоит только этой величине попасть под знак предела, с ней начинают вытворять всё, что заблагорассудится, в том числе и делить.

[Aritaborian]

TamaGOch, ответ у вас, кстати, верный.

[bot]

Это случайность, вызванная числовым равенством $\, \frac{2}{3}a+\frac{1}{3}b=0\, $ при $\, a=1, b=-2$.