Предел

[Limit79]

$ \lim\limits_{x \to 3} \frac{\sqrt{4x+4}-2 \sqrt{x+1}}{x^2-9}$

Пробовал домножить числить и знаменатель дроби на сопряженное числителю, чтобы как-то сократить числитель со знаменателем, но в числителе ноль получается (собственно говоря, там изначально $0$).

[Cash]

Ну так в чем проблемы?
Чему равно выражение $\frac{0}{x^2-9}$, при $x \ne \pm 3$?

[Limit79]

Cash
Нулю. Но здесь же как раз тройку подставляем, и будет неопределенность вида $\frac{0}{0}$

[Cash]

Вам нужно не значение при $x=3$, а предел при $x \rightarrow 3$
Что из себя представляет график функции $y=\frac{0}{x^2-9}$?

[Limit79]

Cash
Прямую, $y=0$.

То есть Вы предлагаете вот так сделать?

$ \lim\limits_{x \to 3} \frac{\sqrt{4x+4}-2 \sqrt{x+1}}{x^2-9} = \lim\limits_{x \to 3} \frac{\sqrt{4\cdot(x+1)}-2 \sqrt{x+1}}{x^2-9}= \lim\limits_{x \to 3} \frac{2\sqrt{x+1}-2 \sqrt{x+1}}{x^2-9}= \lim\limits_{x \to 3} \frac{0}{x^2-9} =\lim\limits_{x \to 3} 0 = 0$

[Cash]

Ну там не совсем прямая будет, кое-чего будет не хватать.
Но предлагаю сделать именно это.

[Limit79]

Cash
Прямая, с выколотыми точками $ x=\pm 3$ ?

Просто меня как-то смущает вот этот переход: $\lim\limits_{x \to 3} \frac{0}{x^2-9} = \lim\limits_{x \to 3} 0$

При таком переходе как раз теряются эти точки разрыва...

[Cash]

А $\lim\limits_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$
вас тоже смущает?

-- Ср дек 26, 2012 19:07:56 --

Приведите, пожалуйста, определение предела функции.

[Limit79]

Cash
Предел функции - эта значение функции, при стремлении аргумента к заданному значению, извините за мой французский.

[Cash]

Это ерунда, а не определение.
Тот случай, когда нужно заглянуть в учебник, прочитать, понять и запомнить. Вещь всё-таки базовая.

[Limit79]

Как-то так:

(Оффтоп)

-- 26.12.2012, 19:43 --

изначально здесь будет неопределенность $\frac{0}{0}$, и она пропадает как раз в том переходе, когда знаменатель уходит?

[Cash]

Давайте возьмем определение по Коши.
И найдем предел нашего выражения по этому определению.

[Limit79]

Cash
К сожалению, меня всегда пугали всякие "дельта" и "окрестности" в определениях/доказательствах.

Спасибо за помощь.

[Cash]

И вот так сразу сдадитесь?
Дело ваше, конечно же. Но не лучше ли все-таки попытаться разобраться с этими страшными эпсилонами и дельтами? Еще раз повторю - вещь базовая, без понимания этого в дальнейшем только усугубляться будет. Не хотите же вы уподобиться тем "дипломированным специалистам", которых обучили паре трюков, а при малейшем отклонении от шаблона впадают в ступор и кричат: "Караул! Нас этому не учили..."