Делимость

[xmaister]

Докажите, что $2^m|[(1+\sqrt{3})^{2m+1}]$, где $m\in\mathbb{N}$,а $[l]$- наименьшее целое, не превосходящее $l$.

[Sonic86]

Возможно, следует пытаться строить линейную рекуррентную последовательность порядка $2$, у которой корни характеристического уравнения $1+\sqrt{3}$ и ему сопряженный $1-\sqrt{3}$ (он как раз по модулю меньше $1$, потому его степень будет стремиться к нулю), причем значения последовательности должны оставаться в $\mathbb{Z}$ (короче - аналог чисел Фибоначчи). Найти дискриминант поля разложения, смотреть, как с ним соотносится $2$ ну и в зависимости от взаимной простоты доказывать.
Где-то я в Кванте видел статью про такие последовательности.

(Оффтоп)

Решать не могу к сожалению

[Руст]

$[(1+\sqrt 3)^{2m+1}]=(1+\sqrt 3)^{2m+1}+(1-\sqrt 3)^{2m+1}=2^m(1+\sqrt 3)(2+\sqrt 3)^m+(1-\sqrt 3)(2-\sqrt 3)^m$.
Если $(1+\sqrt 3)(2+\sqrt 3)^m=a_m+b_m\sqrt 3$, то $[(1+\sqrt 3)^{2m+1}]=a*2^{m+1}$. На самом деле легко показать, что $a_m$ нечетное. Соответственно делится точно на $2^{m+1}$.

[nnosipov]

См. статью "Числа Пизо" в русской wiki.

-- Ср дек 26, 2012 16:05:10 --

Sonic86 в сообщении #663891 писал(а):

Где-то я в Кванте видел статью про такие последовательности.

Это две статьи А. Егорова за 2005 год.

[Whitaker]

xmaister
Эта задача есть в книге "Алгоритмы. Арифметика. Сложность вычислений" (в первой главе, номер задачи не помню) и в Полиа-Сеге "Задачи и теоремы из анализа" (часть 2. Восьмой отдел, задача 11)
Можно даже показать, что $2^{m+1}\mid [(1+\sqrt{3})^{2m+1}],$ а последнее можно расписать как

$$[(1+\sqrt{3})^{2m+1}]=(1+\sqrt{3})^{2m+1}+(1-\sqrt{3})^{2m+1}$$

А дальше уже все понятно.