Любой ли определенный интеграл сходится?

[belo4ka]

Любой ли определенный интеграл сходится?

Понятно, что определенный интеграл ограничен, но ведь из ограниченности не следует сходимость...

То есть, если подынтегральная функция непрерывна на области интегрирования и пределы интегрирования - конечны -- достаточно ли этого для сходимости интеграла?

Это я провожу аналогию с рядами.

Ведь ряд $-1+1-1+1-1+1-1+...$ ограничен, но ведь не сходится, так как последовательность частичных сумм не имеет предела.

[Joker_vD]

belo4ka в сообщении #663842 писал(а):

То есть, если подынтегральная функция непрерывна на области интегрирования и пределы интегрирования - конечны -- достаточно ли этого для сходимости интеграла?

$$\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{x}=?$$

Вот если она непрерывна на отрезке интегрирования...

[Henrylee]

нет, нет и нет (это я к первому посту)
кстати, а что там за ограниченность такая имелась в виду?

[belo4ka]

Joker_vD в сообщении #663845 писал(а):

belo4ka в сообщении #663842 писал(а):

То есть, если подынтегральная функция непрерывна на области интегрирования и пределы интегрирования - конечны -- достаточно ли этого для сходимости интеграла?

$$\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{x}=?$$

Вот если она непрерывна на отрезке интегрирования...

$$\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{x}=\infty$$

А если она непрерывна на отрезке интегрирования и пределы интегрирования конечны, то интеграл сходится??

-- 26.12.2012, 00:46 --

Henrylee в сообщении #663847 писал(а):

нет, нет и нет (это я к первому посту)
кстати, а что там за ограниченность такая имелась в виду?

Ну имелась ввиду ограниченность последовательности частичных сумм. $|S_n|\leqslant 1$

[Henrylee]

belo4ka в сообщении #663849 писал(а):

А если она непрерывна на отрезке интегрирования и пределы интегрирования конечны, то интеграл сходится??

Кагбе "интеграл сходится" (речь о римановском, конечно, не так ли?) относят обычно к несобственным. А в остальном функция, непрерывная на отрезке, да, интегрируема по Риману (последовательность интегральных сумм имеет предел, не зависящий от.. и т.д.)