Неравенство (Израиль 2012)

[arqady]

Пусть $x_1$, $x_2$,..., $x_n$ положительные числа, для которых $x_1+x_2+...+x_n=n$. Докажите, что:

$$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+...+\frac{x_n}{x_1}\leq\frac{4}{x_1x_2\cdot...\cdot x_n}+n-4$$

[DrVirogov]

Поскольку сумма иксов постоянна, их произведение минимально при $x_i=\frac1n$
Произведение дробей слева также постоянно, то есть их сумма максимальна при равенстве всех дробей, то есть, опять таки при $x_i=\frac1n$.
Подставим это значение и увидим, что неравенство выполняется с ооочень большим запасом.
Так что можно из правой части убрать все, кроме $\frac{1}{x_1x_2\cdot...\cdot x_n}$ и при этом неравенство только усилится.

[arqady]

DrVirogov в сообщении #670531 писал(а):

Поскольку сумма иксов постоянна, их произведение минимально при $x_i=\frac1n$

Может, максимально? И почему $x_i=\frac1n$?

[Cash]

DrVirogov в сообщении #670531 писал(а):

Поскольку сумма иксов постоянна, их произведение минимально при $x_i=\frac1n$
Произведение дробей слева также постоянно, то есть их сумма максимальна при равенстве всех дробей, то есть, опять таки при $x_i=\frac1n$.

Произведение максимально, а сумма минимальна