Равномерная сходимость функцион. послед.

[Andrei94]

Верно ли решил задачу (хотя бы идейно)?
Сходится ли последовательность функций равномерно на $(0;1)$? $f_n(x)=\dfrac{n^2x+n\sqrt{x}+1}{n^2\sqrt{x}+2}$

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n^2x+n\sqrt{x}+1}{n^2\sqrt{x}+2}=\sqrt{x}=f(x)$

$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in(0;1)}\Bigg|\dfrac{n^2x+n\sqrt{x}+1}{n^2\sqrt{x}+2}-\sqrt{x}\Bigg|=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in(0;1)}\Bigg|\dfrac{(n-2)\sqrt x+1}{n^2\sqrt{x}+2}\Bigg|=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in(0;1)}\Bigg|\dfrac{(n-2)+1}{0+2}\Bigg|=\infty$$

Значит последовательность не сходится равномерно.

[SpBTimes]

Последний переход странен. Вы показали, что это все меньше бесконечности( с чего бы супремум таков), но это ничего не объясняет.

[Andrei94]

SpBTimes в сообщении #663140 писал(а):

Последний переход странен. Вы показали, что это все меньше бесконечности( с чего бы супремум таков), но это ничего не объясняет.

Спс. А какой должен быть супремум? Нам ведь нужно взять супремум по $x$, а он будет тогда, когда знаменатель минимален, а числитель максимален. (потому я подставил ноль в знаменатель вместо икса, а 1 в числитель вместо икса, чтобы с запасом) А как надо было?

[SpBTimes]

Вы подставили слишком с запасом. Как надо - другой вопрос. Гляньте производную

[Andrei94]

Эту? Продолжать?

Пусть $g(x)=\dfrac{(n-2)\sqrt x+1}{n^2\sqrt{x}+2}$

$g'(x)=\dfrac{((n-2)\sqrt x+1)'(n^2\sqrt{x}+2)-((n-2)\sqrt x+1)(n^2\sqrt{x}+2)'}{(n^2\sqrt{x}+2)^2}=$

$=\dfrac{(n-2)\dfrac{1}{2\sqrt x}(n^2\sqrt{x}+2)-((n-2)\sqrt x+1)(n^2\dfrac{1}{2\sqrt x}+2)'}{(n^2\sqrt{x}+2)^2}=$

[SpBTimes]

Не, ну надо не просто глянуть, а найти, когда там максимум-минимум