2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Канонический вид
Сообщение24.12.2012, 17:34 
Здравствуйте!

Привести к каноническому виду уравнение $$u_{xx}+2u_{xy}-2u_{xz}+2u_{yy}+6u_{zz}=0$$

С чего здесь начать?

 
 
 
 Re: Канонический вид
Сообщение24.12.2012, 19:06 
можно составить квадратичную форму от трёх переменных, по которым у вас производные, и привести её к каноническому виду методом Лагранжа, например.

 
 
 
 Re: Канонический вид
Сообщение25.12.2012, 00:55 
wronskian
Характеристическая квадратичная форма уравнения имеет вид $$Q(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)=\lambda_1^2+4\lambda_1\lambda_2-4\lambda_1\lambda_3+2\lambda_2^2+6\lambda_3^2$$ Методом Лагранжа я привел ее к каноническому виду: $$Q(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)=(\lambda_1+2\lambda_2-2\lambda_3)^2+2(2\lambda_2+\lambda_3)^2-10\lambda_2^2$$
Что делать дальше подскажите пожалуйста?

 
 
 
 Re: Канонический вид
Сообщение25.12.2012, 06:16 
Kid_Dynamite
Вы уверены, что правильно написали первую К.Ф.? Если мне память не изменяет, то перед $\[{\lambda _1}{\lambda _2}\]$ и прочими смешанными произведениями коэффициент уж никак не $4$.
Допустим, Вы исправите эти два коэффициента. После приведения к каноническому виду, Вы, очевидно, получите сумму квадратов (спасибо Лагранжу). Кстати, лучше $\[{\lambda _1},{\lambda _2},{\lambda _3}\]$ обозначить за $x,y,z$, так как это всё-таки замена этих же самых координат, но это уж как Вам удобно. Далее, собственно, получаем замену: $$\[\begin{array}{l}
\xi ' = a(x,y,z)\\
\eta ' = b(x,y,z)\\
\zeta ' = c(x,y,z)
\end{array}\]$$ где $a(x,y,z), b(x,y,z), c(x,y,z)$ — Ваши слагаемые из канонического вида К.Ф., из них составляем матрицу $B$ и $\[{B^T}\]$, далее вспоминаем, как меняется матрица невырожденного преобразования при переходе от одного базиса к другому $\[X' = {({B^T})^{ - 1}}X\]$, меняем её и получаем искомую замену $$\[\begin{array}{l}
\xi  = a(x,y,z)\\
\eta  = b(x,y,z)\\
\zeta  = c(x,y,z)
\end{array}\]$$

 
 
 
 Re: Канонический вид
Сообщение25.12.2012, 11:26 
wronskian
Характеристическая квадратичная форма это величина $$Q(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)=\sum \limits_{i,j=1}^{3}a_{ij}\lambda_i\lambda_j=a_{11}\lambda_1^2+2a_{12}{\lambda_1\lambda_2}+2a_{13}\lambda_1\lambda_3+a_{22}\lambda_2^2+2a_{23}{\lambda_2\lambda_3}+a_{33}\lambda_3^2$$
А в нашем уравнении $$a_{11}=1, a_{12}=a_{21}=2, a_{13}=a_{31}=-2, a_{22}=2, a_{23}=a_{32}=0, a_{33}=6$$
Верно же?

 
 
 
 Re: Канонический вид
Сообщение25.12.2012, 11:32 
Аватара пользователя
Kid_Dynamite в сообщении #663437 писал(а):
Верно же?

Вы в одном вагоне хотите ехать в разные стороны. Верно следующее $2u_{xy}=u_{xy}+u_{yx}$ - делайте выводы.

 
 
 
 Re: Канонический вид
Сообщение25.12.2012, 11:34 
bot
Я уже понял спасибо!
Хотел удалить свое сообщение, а вижу, что Вы уже добавили :-)

 
 
 
 Re: Канонический вид
Сообщение25.12.2012, 18:35 
wronskian
Получил, что $$Q(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)=\lambda_1^2+2\lambda_1\lambda_2-2\lambda_1\lambda_3+2\lambda_2^2+6\lambda_3^2$$ Привел ее к каноническому виду $$Q(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)=(\lambda_1+\lambda_2-\lambda_3)^2+(\lambda_2+\lambda_3)^2+(2\lambda_3)^2$$ Пусть $\mu_1=\lambda_1+\lambda_2-\lambda_3, \mu_2=\lambda_2-\lambda_3, \mu_3=2\lambda_3$
$$A=\begin{pmatrix}
 1 & 1 & -1\\
 1 & 1 & 0 \\
 -1 & 1 & 2
\end{pmatrix}$$ Тогда $$(A^{T})^{-1}=\begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0\\
 -1 & 1 & 0 \\
 1 & -1/2 & 1/2
\end{pmatrix}$$ Получаем, что $$\begin{cases}
 \xi=x \\
 \eta=-x +y + 4z \\
 \zeta=x -\frac{y}{2} + \frac{z}{2}
\end{cases}$$ Отсюда я получил, что:
$$\begin{cases}
 u_{x}=v_{\xi}-v_{\eta}+v_{\zeta} \\
 u_{y}=v_{\eta}-\frac{1}{2}v_{\zeta} \\
 u_{z}=\frac{1}{2}v_{\zeta}
\end{cases}$$
Скажите пожалуйста верно ли я действую?

 
 
 
 Re: Канонический вид
Сообщение25.12.2012, 18:43 
Kid_Dynamite
проверьте ваши $\mu_2, \mu_3$, также что-то не так со второй и третьими строками в матрице $A$.

Еще меня смущают ваши $\xi, \eta, \zeta$ после того, как вы получили обратную к транспонированной.

Вот эти: $$\begin{cases}
 \xi=x \\
 \eta=-x +y + 4z \\
 \zeta=x -\frac{y}{2} + \frac{z}{2}
\end{cases}$$

А именно $\eta$, в частности её третья компонента.

Еще, я заметил, что Вы не умеете умножать матрицу на вектор (надеюсь, я ошибаюсь :-) )

Ведь $$\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\xi \\
\eta \\
\zeta 
\end{array}} \right) = {({A^T})^{ - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y\\
z
\end{array}} \right)\]$$

 
 
 
 Re: Канонический вид
Сообщение25.12.2012, 18:52 
wronskian
Извиняюсь. Действительно, $\mu_2=\lambda_2+\lambda_3,$ $\mu_3=2\lambda_3$
$$A=\begin{pmatrix}
 1 & 1 & -1\\
 0 & 1 & 1 \\
 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}$$
$$\begin{cases}
 \xi=x \\
 \eta=-x +y\\
 \zeta=x -\frac{y}{2} + \frac{z}{2}
\end{cases}$$
Теперь лучше?

 
 
 
 Re: Канонический вид
Сообщение25.12.2012, 18:55 
Kid_Dynamite
Гораздо лучше! Вот Вы и получили искомую замену. Теперь, глядя на канонический вид вашей квадратичной формы, попробуйте перейти от самой К.Ф. к У.Ч.П., учитывая новые координаты.

 
 
 
 Re: Канонический вид
Сообщение25.12.2012, 18:56 
А вот как найти например $u_{xx}$?

 
 
 
 Re: Канонический вид
Сообщение25.12.2012, 18:57 
Kid_Dynamite
Теперь осталось сделать как бы обратный ход, и задача решена

 
 
 
 Re: Канонический вид
Сообщение25.12.2012, 19:04 
У нас $u_x=v_{\xi}-v_{\eta}+v_{\zeta}$
У меня получилось, что $$u_{xx}=v_{\xi\xi}-v_{\xi\eta}+v_{\xi\zeta}-(v_{\eta\xi}-v_{\eta\eta}+v_{\eta\zeta})+(v_{\zeta\xi}-v_{\zeta\eta}+v_{\zeta\zeta})$$
Верно?

 
 
 
 Re: Канонический вид
Сообщение25.12.2012, 19:04 
Kid_Dynamite
Вовсе нет. Что такое канонический вид ДУЧП?

 
 
 [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group