Сумма ряда

[integral2009]

Подскажите, пожалуйста, подсказкой -- как можно найти сумму ряда:

$4-\dfrac{5}{2\cdot 2}+\dfrac{6}{2^2\cdot 3}-\dfrac{7}{2^3\cdot 4}+...$

Есть идея написать через сумму $\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{(-1)^k(k+4)}{2^k\cdot k}$ и разбить

$\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{(-1)^k(k+4)}{2^k\cdot k}=\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{(-1)^k}{2^k}+4\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{(-1)^k}{2^k\cdot k}$

Первая сумма - геометрич прогрессия, а что делать со второй?

$\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{(-1)^k}{2^k}=\dfrac{1}{1+0,5}=\dfrac{2}{3}$

[ИСН]

Про ряд Тейлора для $\ln(1+x)$ слышали, например?

-- Пн, 2012-12-24, 15:02 --

(ещё я не понял, откуда вообще это k внизу. но вот если оно там есть, то)

[integral2009]

Спасибо.

$k$ все-таки есть, сейчас мправлю услоие. А что делать с $k$ этим тогда?

[ИСН]

ИСН в сообщении #662949 писал(а):

Про ряд Тейлора для $\ln(1+x)$ слышали, например?

[integral2009]

ИСН в сообщении #662954 писал(а):

ИСН в сообщении #662949 писал(а):

Про ряд Тейлора для $\ln(1+x)$ слышали, например?

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n x^{n+1}}{n+1} = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(- 1)^{n-1}x^n}{n}$

[ИСН]

ога
теперь два умственных усилия: заменяем n на k, и...

[integral2009]

ИСН в сообщении #662961 писал(а):

ога
теперь два умственных усилия: заменяем n на k, и...

Да, там все ок, понял. Только все-таки нехорошо я ноль поставил в знаменатель.

$4+\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{(-1)^k(k+4)}{2^k\cdot (k+1)}$