Задача по теории вероятности. Распределение случ величины

[vanoand]

Пожалуйста :)
$P(\eta<x)=P(\frac{\xi_1}{\xi_2} < x, \xi_1+\xi_2<1) + P(\frac{\xi_2}{\xi_1} < x, \xi_1+\xi_2>1) = \int_{s<xt, s+t<1, -1<s<2, 0<t<2}dsdt + \int_{s>xt, s+t<1, -1<s<2, -1<t<0}dsdt + \int_{t<xs, s+t<1, -1<t<2, 0<s<2}dsdt + \int_{t>xs, s+t<1, -1<t<2, -1<s<0}dsdt$

[--mS--]

Вы издеваетесь?

--mS-- в сообщении #662712 писал(а):

vanoand, послушайте добрый совет. Запишите каждую вероятность в виде интеграла по области - одного. Например, первая вероятность у Вас есть

$$\iint\limits_{\frac{s}{t} < x, s+t <1} \frac19 \,ds\,dt.$$

Напишите рядом второй интеграл, посмотрите на них внимательно, и сложите. Перейдёте к одному интегралу по целому квадрату, а уж потом развлекайтесь с областями $s/t < x$.

[vanoand]

:) Я не понимаю, Вы хотите, чтобы я написала просто 2 абсолютно одинаковых слагаемых?
$\iint\limits_{\frac{s}{t} < x, s+t <1} \frac19 \,ds\,dt + \iint\limits_{\frac{t}{s} < x, s+t >1} \frac19 \,ds\,dt$

[--mS--]

Я хочу, чтобы Вы написали два, а не 4 слагаемых, потому что с четырьмя слагаемыми мы до нового года не разберёмся. Разве они одинаковые?

Написать-то Вы написали, а вот посмотреть на второй интеграл так и не посмотрели. $s$ и $t$ местами в нём можно поменять?

[Henrylee]

О. Мне б так выспаться..

[vanoand]

ну ds и dt точно можно :)
А так при отрицательных s: $\frac{s}{t}<x$
при положительных s: $\frac{s}{t}>x$

[--mS--]

Считаю, что сделала всё, и даже больше. И разжевала, и в рот положила, глотать за Вас не буду. Спокойной ночи.

(Оффтоп)

Что-то я такая добрая, аж противно...

З.Ы. Запишите второй интеграл в переменных $u$ и $v$, может, поможет...

[Henrylee]

vanoand, сделайте во втором интеграле замену
$s\to\tilde{t},~t\to\tilde{s}$
так буедт еще виднее

[vanoand]

--mS--, Какая жалость, что я даже пережеванное проглотить не могу. Как свести все это менее, чем к 4 интегралам я не вижу. Все-равно спасибо и извините за потраченное время :)

(Оффтоп)

Хорошо хоть, не стали спрашивать, что такое сигма-алгебра, открытое множество и мера. А то преподаватели по теории вероятности любят так начинать разбор задач такого плана

[--mS--]

И что, даже откровенный совет в предыдущем сообщении не помог? Вы заменили $s$ на $\tilde t$, а $t$ на $\tilde s$, или так и будете ждать, когда проглотят за Вас?

Кстати, очень жаль, что вопрос про сигма-алгебры и меры Вам тут кажется диким. Если бы Вы знали такие вещи, было бы сразу очевидно, что делать с данной с.в., и никакие 4 интеграла бы не понадобились. Подожду, когда Вы сделаете замену в интеграле и сложите наконец его с первым, а после объясню всё про сигма-алгебры.

[vanoand]

Хорошо, сделали замену, получили такое же, как и в первом интеграле отношение. Условие $ s+ t >1$ от этого же не изменилось. Рассматриваем большой квадрат. В нем по обе стороны прямой $s +t=1$ посмотрим на $\frac{s}{t}<x$
Рассмотрим равенство $\frac{s}{t}=x$. У нас х бегает вдоль оси OS.

-- 24.12.2012, 01:25 --

В итоге:
$\iint\limits_{\frac{s}{t} < x, -1<s,t<2} \frac19 \,ds\,dt

[--mS--]

Зачем прямая $s+t=1$? Вы уже получили, что нужно вычислить интеграл по области $s/t < x$ в целом квадрате. Вот теперь разбивайте как угодно и считайте трапеции и т.п.

Обещанное. Хотя на раскаяние я, конечно, уже не рассчитываю
Cлучайные величины $\xi_1$ и $\xi_2$ независимы и одинаково распределены, их совместное распределение (вероятностная мера на сигма-алгебре, порождённой открытыми подмножествами плоскости) полностью определяется набором вероятностей

$$\mathsf P(\xi_1\in B_1, \, \xi_2\in B_2) = \mathsf P(\xi_1\in B_1)\mathsf P(\xi_2\in B_2) = \mathsf P(\xi_2\in B_1)\mathsf P(\xi_1\in B_2) = \mathsf P(\xi_2\in B_1, \, \xi_1\in B_2),$$

поэтому распределения (вероятностные меры на сигма-алгебре, порождённой открытыми подмножествами плоскости) пар $(\xi_1, \xi_2)$ и $(\xi_2, \xi_1)$ одинаковы.

Соответственно,

$$\mathsf P\left(\frac{\xi_2}{\xi_1}<x, \, \xi_1+\xi_2 \geqslant 1\right)=\mathsf P\left(\frac{\xi_1}{\xi_2}<x, \, \xi_2+\xi_1 >1\right),$$

поэтому

$$\mathsf P(\eta < x) = \mathsf P\left(\frac{\xi_1}{\xi_2}<x, \, \xi_1+\xi_2 < 1\right) + \mathsf P\left(\frac{\xi_1}{\xi_2}<x, \, \xi_1+\xi_2 \geqslant 1\right) = \mathsf P\left(\frac{\xi_1}{\xi_2}<x\right). $$

От скольких бы страниц нас избавили сигма-алгебры

[vanoand]

--mS--, я поняла, что Вы хотите сделать, здорово :) Огромное спасибо!
А я возмущалась, что мне попалось такое садистское задание. Оно, оказывает, совсем нормальное :)