2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Класс всех моделей Г
Сообщение23.12.2012, 13:42 
Аватара пользователя
Объясните, пожалуйста, почему если множество предложений первого порядка $\Gamma$ имеет бесконечную модель, то множество (класс) всех моделей $\Gamma$, $Mod(\Gamma)$, строго больше чем любое множество $X$?

Вот цитата из учебника:
Цитата:
... $Mod(\Gamma)$ is sometimes unbounded. It is unbounded precisely when $\Gamma$ has an infinite model. By unbounded we mean that for any set $X$, $Mod(\Gamma)$ is strictly bigger than $X.$ ...

 
 
 
 Re: Класс всех моделей Г
Сообщение23.12.2012, 15:11 
Аватара пользователя
Боюсь, вы неверно перевели. Там одно не следует из другого, это просто идущие подряд определения.

 
 
 
 Re: Класс всех моделей Г
Сообщение23.12.2012, 15:36 
Аватара пользователя
Aritaborian в сообщении #662360 писал(а):
... определения.

Так как это два определения, то по идее они равносильны. Мне кажется надо это доказать. Нет :?:

 
 
 
 Re: Класс всех моделей Г
Сообщение23.12.2012, 15:49 
Аватара пользователя
Ну смотрите. Имеем:
Цитата:
... $Mod(\Gamma)$ иногда неограничен. Он ограничен в точности, когда $\Gamma$ имеет бесконечную модель. Говоря «не ограничен» мы имеем в виду, что для любого множества $X$, $Mod(\Gamma)$ строго больше, чем $X.$ ...
Не вижу, что тут нужно доказывать.

(Оффтоп)

В самом предмете не разбираюсь, просто пытаюсь рассуждать логически.

 
 
 
 Re: Класс всех моделей Г
Сообщение24.12.2012, 15:06 
Аватара пользователя
Подумав лучше, придумал такое решение. Пусть дана модель множества предложений $\Gamma$: $M=(U_M|\nu)$, где $U_M$ - универсум, а $\nu$ - сигнатура. Пусть также $X$ - произвольное множество. Тогда моделями $\Gamma$ будут также структуры:

$M_1=(U_M|\nu_1)$

$M_2=(U_M|\nu_2)$

$M_3=(U_M|\nu_3)$

$\dots$

где $\nu_i$ получается добавлением в $\nu$, в качестве константы, какого-нибудь элемента из $\mathcal{P}(X)$. Тогда $|Mod(\Gamma)|\geqslant|\mathcal{P}(X)|>|X|$, что и требуется. Но замечаю, что $U_M$ не обязана быть бесконечной.

 
 
 
 Re: Класс всех моделей Г
Сообщение25.12.2012, 12:58 
Аватара пользователя
Всё верно. Модель должна быть бесконечной, если рассматривать произвольное, конечное $X$.

Уже не понимаю, как может допускаться такое определение неограниченного множества? Разве $Mod(\Gamma)$ может быть строго больше любого множества $X$? $|Mod(\Gamma)|<|\mathcal{P}(Mod(\Gamma))|$.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group