Вычисление интеграла с помощью вычетов

[fr0z3n]

$\int\limits_0^{+ \infty} \frac {dx} {x^3+1}$
Сначала я представляю этот интеграл как половинку интеграла от $- \infty $ до $+\infty$, затем рассматриваю такую сумму интегралов:(контуры $C_r $ и $ {C}_{\frac {1} {r}} $ - полуокружности при Im(z)>0 с центрами в начале координат и в точке (-1,0) соответственно, и с радиусами, соответствующими индексам;) $\int\limits_{-r}^{-1-\frac 1 r} \frac {dx} {x^3+1} + \int\limits_{-1+\frac 1 r}^{r} \frac {dx} {x^3+1} + \int\limits_{C_r} \frac {dx} {x^3+1}+ $\int\limits_{C_{\frac 1 r}} \frac {dx} {x^3+1}$ ,причем чему равна эта сумма, я не понимаю, ведь условия леммы Жордана не выполняются - функция не непрерывна в выбранном контуре, так как там присутствует особая точка. Если разобраться с суммой, то далее, устремляя r к бесконечности, можно увидеть, что сумма первых двух интегралов стремится к половинке искомого интеграла. Остальные кусочки суммы:$ \int\limits_{C_\frac 1 r} \frac {dx} {x^3+1} = -\pi i \operatorname{Res}\left( \frac {dx} {x^3+1}\,, -1 \right) = \frac {\pi i} 3 $ , и, как я предполагаю, :$ \int\limits_{C_r} \frac {dx} {x^3+1} = \pi i \operatorname{Res}\left( \frac {dx} {x^3+1}\,, \frac {1+\sqrt{3} i} {2} \right) =\ \frac {\pi} {6} \left(i+\sqrt{3}\right) $. Что сделать с суммой?
И правомерно ли вычисление интеграла по $C_r$?

[bot]

fr0z3n в сообщении #662234 писал(а):

Сначала я представляю этот интеграл как половинку интеграла от $-\infty$ до $+\infty$

Этот - не половинка, тем более расходящегося.

[fr0z3n]

Я ошибся в условии.
$\int\limits_0^{+ \infty} \frac {x dx} {x^3+1}$
Ну и далее по тексту, $\int\limits_{-r}^{-1-\frac 1 r} \frac { x dx} {x^3+1} + \int\limits_{-1+\frac 1 r}^{r} \frac { x dx} {x^3+1} + \int\limits_{C_r} \frac { x dx} {x^3+1}+ $\int\limits_{C_{\frac 1 r}} \frac { xdx} {x^3+1}$,
$ \int\limits_{C_\frac 1 r} \frac { x } {x^3+1} = -\pi i \operatorname{Res}\left( \frac { x } {x^3+1}\,, -1 \right) = \frac {\pi i} 3 $ и $ \int\limits_{C_r} \frac { x} {x^3+1} = \pi i \operatorname{Res}\left( \frac { x } {x^3+1}\,, \frac {1+\sqrt{3} i} {2} \right) =\ \frac {\pi} {6} \left(i+\sqrt{3}\right) $ соответственно.

[Ales]

$\rho^3=1 , \rho \neq 1, \ln (\rho) = \frac {2\pi i} 3$
$\int\limits_0^{+ \infty} \frac {dx} {x^3+1}=\sum\limits_{j=1}^{3} \int\limits_0^{+ \infty} \frac {a_j dx} {x+\rho ^j}=\sum\limits_{j=1}^{3} a_j (\ln (X+\rho ^j) - \ln (\rho ^j)), X \to \infty =(\sum\limits_{j=1}^{3} a_j ) \ln X+\sum\limits_{j=1}^{3} a_j \ln (1 + \frac {\rho ^j} {X}) - \sum\limits_{j=1}^{3} a_j \ln (\rho ^j), X \to \infty $.

Сразу известно, что $(\sum\limits_{j=1}^{3} a_j ) =0$.
Поэтому ответ: $-(a_1+2 a_2) \ln (\rho )$.
$a_1 = \frac 1 {(\rho+1)(\rho+\rho^2)}, a_2 = \frac 1 {(\rho^2+1)(\rho^2+\rho)}$

[fr0z3n]

Ales в сообщении #662273 писал(а):

Поэтому ответ: $-(a_1+2 a_2) \ln (\rho )$.

Спасибо, но я ошибся, переписывая пример. Там еще в знаменателе х ( см. пост №2). Впрочем, и тот интеграл таким посчитать можно, но задача состоит именно в том, чтобы посчитать его с помощью вычетов, а не как несобственный интеграл.

[Ales]

Ales в сообщении #662273 писал(а):

Поэтому ответ: $-(a_1+2 a_2) \ln (\rho )$.
$a_1 = \frac 1 {(\rho+1)(\rho+\rho^2)}, a_2 = \frac 1 {(\rho^2+1)(\rho^2+\rho)}$

Это я неправильно написал, надо так:
Поэтому ответ: $=-a_1 \ln (\rho )-a_2 \ln (\rho^2 )=-2 Re(a_1 \ln (\rho ))$.
$a_1 = \frac 1 {(-\rho+1)(-\rho+\rho^2)}= \frac {\rho}{3}$

-- Вс дек 23, 2012 11:12:57 --

Значит ответ: $\frac{2\pi \sqrt {3}}{9} $.

$a_j$ - это вычеты. Интеграл был посчитан с их помощью.

Если в числителе будет ещё $x$,
то $a_1 = - \frac {\rho^2}{3}$.
Мнимая часть вычета такая же, значит ответ тот же самый: $\frac{2\pi \sqrt {3}}{9} $.

[fr0z3n]

Ales в сообщении #662285 писал(а):

Это я неправильно написал, надо так:
Поэтому ответ: $-2 Re(a_1 \ln (\rho ))$.
$a_1 = \frac 1 {(-\rho+1)(-\rho+\rho^2)}= \frac {\rho}{3}$

Тем не менее, надо всё еще посчитать, чему равняется сумма интегралов $\int\limits_{-r}^{-1-\frac 1 r} \frac { x dx} {x^3+1} + \int\limits_{-1+\frac 1 r}^{r} \frac { x dx} {x^3+1} + \int\limits_{C_r} \frac { x dx} {x^3+1}+ $\int\limits_{C_{\frac 1 r}} \frac { xdx} {x^3+1}$ , и верно ли вычисление интеграла по $C_r$

[Ales]

fr0z3n в сообщении #662289 писал(а):

Тем не менее, надо всё еще посчитать,

Контур надо брать по краю первой трети комплексной плоскости :
$(\rho \cdot (+\infty), 0,+ \infty)$.
Если наш интеграл $\int\limits_0^{+ \infty} \frac {x dx} {x^3+1}=I$, то $(-\rho^2 + 1) I = 2 \pi i Res (\frac {x } {x^3+1},-\rho^2) = -2 \pi i \frac {\rho}3$,
то есть $(\rho - \rho^2) I = \frac {2 \pi i }3$, $ I = \frac {2 \pi}{3 \sqrt {3}}$

[fr0z3n]

Ales в сообщении #662308 писал(а):

Контур надо брать по краю первой трети комплексной плоскости :
$(\rho \cdot (+\infty), 0,+ \infty)$.

Спасибо, разобрался.