Уравнения в частных производных.

[3.14]

Здравствуйте, все участники форума. Задание - волновое уравнение на отрезке. Уравнение : $ u_{tt} = a^2 u_{xx} (a>0)$ ; Область $(t,x)$ : $[0, +\infty] \times [0,l]$; Начальные условия : $u(0,x) = \varphi(x), u_t (0,x) = \psi(x)$; Краевые условия : $u_x (t,0) = \nu (t), u_x (t,l) = 0$. Для начала мне нужно выписать условия согласования данных, при котором решение будет классическим. Вот какие я выписал :

$$ \varphi'(0) = \nu(0)$$

$$\psi'(0) = \nu'(0)$$

$$ \varphi'(l) = 0$$

$$\psi'(l) = 0$$

Это еще не все условия. Нужно еще одно(как мне кажется), которое будет согласоваться с уравнением. Не получается его выписать. Вот справа будет что-нибудь такое : $...= a^2 \varphi'(l) $. Не могу подобрать $u_{tt}$. Ясно, что там будет что-то с $\nu$. Я попытался найти $u_{tt}$ из краевых условий, но не получилось.