2, 10, 72, 706, ... встретится ли элемент, кратный k?

[Ktina]

Для каждого $k\in\mathbb N$ доказать, что в последовательности 2, 10, 72, 706, ... встретится элемент, кратный $k$.

(последовательность 2, 10, 72, 706, ... задаётся формулой $(n-1)^n+(n+1)^n$, где $n$ есть порядковый номер элемента)

З. Ы. и почему этой последовательности нет в OEIS?

[worm2]

Если $n$ нечётно, то $n$-й элемент последовательности делится на $2^nn$, а среди таких чисел совсем нетрудно найти кратное любому числу.

[Ktina]

worm2 в сообщении #661361 писал(а):

Если $n$ нечётно, то $n$-й элемент последовательности делится на $2^nn$, а среди таких чисел совсем нетрудно найти кратное любому числу.

Верно.
Пусть наибольший нечётный делитель числа $k$ равен $m_1$, а наибольший натуральный показатель степени двойки, на которую делится $k$, равен $m_2$.
В качестве $n$ возьмём нечётное число, кратное $m_1$ и превышающее $m_2$.
Тогда $(n+1)^n$ будет давать остаток 1 при делении на $n$, а $(n-1)^n$ будет давать остаток -1 при делении на $n$ (поскольку $n$ нечётно). Таким образом, $a_n$ будет кратен $n$, а значит и $m_1$.
Так как $n>m_2$ и числа $n-1$ и $n+1$ чётны, выражение $(n-1)^n+(n+1)^n$ будет делиться на $2^{n}$, но так как $n>m_2$, это выражение будет делиться и на $2^{m_2}$, а значит и на $k$.

Честно сказать, сама задача не трудная, мне просто хотелось эту последовательность в OEIS забабахать