Объем тела вращения

[Trurlol]

Вокруг оси $Oy$

$y=\sqrt{x}; y=2; 0 \leqslant x \leqslant4 V = \pi \int_{0}^{4}xdx = \pi8 $

Подскажите пожалуйста правильно ли я нашел объем? Как то не очень уловил суть насчет вращения вокруг $Oy$.
upd: Возможно пределы должны быть от 0 до 2?
upd2: Если я все правильно понял, то: $V = \pi \int_{0}^{2}y^2dy = \pi \frac {32} {5}$

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Перенёс в соответствующий раздел

[gris]

Если Вы хотите уловить суть, то представьте себе тело вращения вокруг некоторой оси заполненным тоненькими блинчиками, нанизанными серединами на это ось. Объём каждого блинчика, который мы представляем цилиндром, равен произведению площади основания на высоту. Высота это в нашем случае $dy$, так как блинчики нанизаны именно на эту ось, а площадь основания равна пиэрквадрат, то есть $\pi R^2$. Если блинчик находится на высоте $y$, то радиус будет равен как раз значению $x$ для этого $y$, то есть $x(y)$.
Высота нашего тела вращения будет равна диапазону изменения $y$.
Уменьшая толщину блинчиков и суммируя их объёмы, переходя к пределу, то есть интегрируя, получим формулу

$$ V=\int\limits_0^2 x^2(y) dy$$

Что немного отличается от приведённой Вами. Аккуратно выразив $x$ через $y$ и подставив в интеграл, получим Ваш правильный ответ.

Конечно, это немного наивный, зато наглядный подход. Часто можно совершенно легко запутаться, что там вокруг чего вращается и какие пределы интегрирования брать. А с блинчиками становится яснее.