вопрос про ортопроекторы

[nastya2011]

Здравствуйте) вопросик теперь про ортопроекторы) $H$-гильбертово $P_1, P_2$ -ортопроекторы на подпространства$H_1, H_2$
1) Пусть $P_2-P_1 $- ортопроектор на подпространство $G$, тогда $P_2-P_1=P_G $ или $P_G+P_1=P_2 $, поэтому $Н_2$ раскладывается в прямую сумму $G$ и $H_1$, а из этого следует, что $Н_1$ вложено в $H_2$.
и, наоборот, если вложение есть, то существует $G$ такое, что $H_2$ раскладывается в прямую сумму и $P_G+P_1=P_2 $, и поэтому $P_2-P_1=P_G $, то есть $P_2-P_1 $- ортопроектор
Вроде все просто и понятно, но переход, почему раз "$P_G+P_1=P_2 $, поэтому $Н_2$ раскладывается в прямую сумму $G$ и $H_1$," непонятен, и "$H_2$ раскладывается в прямую сумму и $P_G+P_1=P_2 $" тоже, помогите, пожалуйста

[ewert]

nastya2011 в сообщении #661123 писал(а):

переход, почему раз "$P_G+P_1=P_2 $, поэтому $H_2$ раскладывается в прямую сумму $G$ и $H_1$

Вам известен про ортопроекторы такой факт: $H_1\perp G\ \Leftrightarrow\ P_{H_1}P_G=0$?

[nastya2011]

ewert
да, известен, но, что это дает?

[nastya2011]

точнее, я понимаю, на что Вы намекаете), но я не знаю, почему произведение их равно нулю(

[ewert]

Я неправильно намекал -- из того, на что я намекал, напрямую это не следует. Боюсь, что тут без некоторого ковыряния не обойтись, хотя сам по себе факт и выглядит достаточно очевидным.

Собственно, идея примерно такая. Ясно, что пересечение тех двух подпространств тривиально (иначе сумма тех проекторов действовала бы на этом пересечении как-то совсем уж непроектично). С учётом этого надо взять по одному вектору из каждого подпространства в предположении, что они неортогональны, подействовать на их сумму суммой проекторов и убедиться в том, что тоже нехорошо выходит. Как-то так; но уже поздно.

[nastya2011]

Интуитивно факт кажется очевидным и понятным, но нужно строгое доказательство( а именно оно у меня и не получается :( подскажите, пожалуйста

[ewert]

Ну, собственно, надо доказать: если $P_{H_1}+P_G$ есть некий ортопроектор (или хотя бы даже просто проектор), то образы тех двух ортопроекторов взаимно ортогональны. Т.е. что из $u\in R(P_{H_1}),\ v\in R(P_G)$ следует $u\perp v$. Для этого достаточно доказать, что из $u\in R(P_{H_1}),\ v\in R(P_G)$ следует $H_1v=0$ и $Gu=0$ (поскольку для ортопроектора образ есть ортогональное дополнение к ядру).

Так вот. Если $u\in R(P_{H_1}),\ v\in R(P_G)$, то $u+v$ принадлежит образу суммы $P_{H_1}+P_G=P_{H_2}$ и, значит (т.к. это тоже проектор), $P_{H_2}(u+v)=u+v$. С другой стороны, это же равно $(P_{H_1}+P_G)(u+v)=u+v+P_{H_1}v+P_Gu$, откуда $P_{H_1}v+P_Gu=0$. А поскольку пересечение образов тривиально, это возможно лишь при $P_{H_1}v=P_Gu=0$.

Тривиальность же пересечения -- факт вполне очевидный: если $u\in R(P_{H_1})\cap R(P_G)$, то $u=P_{H_2}u=(P_{H_1}+P_G)u=u+u=2u$, что возможно лишь при $u=0$.

Как можно оформить это проще -- так сходу не соображу. Возможно, у вас перед этим шли какие-то ещё утверждения, из которых это следует сразу.

[g______d]

Проектор --- это оператор со свойствами $P^2=P$, $P=P^*$.

Если $P$, $Q$, $P+Q$ --- проекторы, то

$$ P+Q=(P+Q)^2=P^2+Q^2+PQ+QP=P+Q+PQ+QP, $$

откуда $PQ=-QP$.

Теперь рассмотрим элемент $PQP=PQ^2P=(PQ)(PQ)^*\geqslant 0$. По предыдущему $PQP=-QP^2=-QP$, т. е. $QP\leqslant 0$, т. е. $PQ\geqslant 0$.

Посмотрев на элемент $QPQ=QP^2Q=(QP)^*(QP)\geqslant 0$, получаем $QPQ=-PQ^2=-PQ\geqslant 0$, откуда $PQ\leqslant 0$.

Таким образом, оператор $PQ$ одновременно неположителен и неотрицателен. Значит, он равен нулю. Точно так же (или из $PQ=-QP$) получаем $QP=0$.