ортогональное дополнение четных функций

[nastya2011]

Здравствуйте, как доказать, что ортогональное дополнение к пространству $A=\{x \in L_2 [-1,1]: x(t)=x(-t), $ для любого $ t \in [-1,1]\}$ есть множество $B=\{x \in L_2 [-1,1]: -x(t)=x(-t), $ для любого $ t \in [-1,1]\}$
ну очевидно, что любая нечетная функция будет ортогональна всем четным. А теперь надо доказать, что только нечетная функция ортогональна всем четным.

Предположим, что есть такая ненулевая $f(x)$, не являющаяся нечетной, которая ортогональна всем четным многочленам. Тогда $g(x)=f(x)+f(-x)$ - четная функция тоже ортогональна всем четным функциям и нечетным, так как она четная.

Получаем, что $g(x)$ ортогональна вообще всем функциям.
Наверное это возможно только тогда, когда она нулевая и тогда $f(x)$ может быть только нечетной и все доказано, но я не знаю, почему это правда, если правда.

-- Чт дек 20, 2012 15:44:10 --

ой, я допустила ошибку, она ортогональна только четным и нечетным функциям
для произвольной функции это непонятно

[ewert]

nastya2011 в сообщении #661072 писал(а):

ну очевидно, что любая нечетная функция будет ортогональна всем четным. А теперь надо доказать, что только нечетная функция ортогональна всем четным.

Зачем пальчиками? Есть совсем школьный факт: любая функция представима в виде суммы чётной и нечётной функций. Т.е. всё пространство является суммой подпространства всех чётных функций и подпространства всех нечётных. А поскольку это ортогональная сумма (т.е. подпространства взаимно ортогональны) -- последнее ровно и означает, что каждое из подпространств есть ортогональное дополнение другого.

[nastya2011]

хм, школу вроде закончила давно уже, но сей школьный факт не знала, как это утверждение можно доказать? или прочитать?
в википедии нашла его :) но там без доказательства

[ИСН]

чётная - тупо полусумма себя с наоборотом, нечётная - полуразность.

[nastya2011]

всем спасибо за помощь)