Пара вопросов по книге S. Ramanan "Global Calculus"

[vanger]

Добрый вечер. Надеюсь, пишу в подходящий раздел. Помогите понять пару мест в упомянутой книге.

1. В разделе про дифференциальные операторы высших порядков вводится connection algebra как фактор тензорной алгебры пространства дифференциальных операторов первого порядка $T(\mathcal D^1)$ по идеалу, порождённому $m(1) - 1$.

И вот тут-то у меня и затык -- я не понимаю, что означает вторая 1. $m(f)$ -- обозначение дифференциального оператора, полученного из функции f -- т.е. просто вложение пространства функций в пространство дифференциальных операторов. Так что $m(1)$ -- просто умножение на 1. А что такое вторая 1?

Гугление по "connection algebra" нашло лишь вики, основанною на той же книжке. И там, соответственно, та же непонятность. Вот, если что, страница про эту алгебру: http://diffgeom.subwiki.org/wiki/Connection_algebra

2. В начале раздела о связностях в векторных расслоениях пишут точную последовательность

$0 \rightarrow \mathcal A \rightarrow \mathcal D^1 \rightarrow \mathcal T \rightarrow 0$,

где $\mathcal A, \mathcal D^1, \mathcal T$ -- пучки гладких функций, дифференциальных операторов первого порядка, векторных полей на многообразии, соответственно. А потом пишут точную последовательность, которую я не понимаю:

$0 \rightarrow Hom(\mathcal E, \mathcal A) \rightarrow \mathcal D^1(\mathcal E, \mathcal A) \rightarrow \mathcal Hom(\mathcal E, \mathcal T) \rightarrow 0$,

где $\mathcal E$ -- предположительно, пучок гладких сечений некоторого векторного расслоения,
а $D^1(\mathcal E, \mathcal A) = Hom(\mathcal E, \mathcal D^1)$.

Потом говорится, что связность -- это задание расщепления этой последовательности. Что в первой последовательности $\mathcal D^1$ канонически распадалась на $\mathcal A$ и $\mathcal T$, а во втором случае распадается, но не канонически.

Собственно, что такое $Hom(\mathcal E, \mathcal A)$? "Как слышится, так и пишется" -- "поточечная(в точках базы) функция" на сечениях векторного расслоения? Немного смущает, что такой гомоморфизм не кажется самой естественной конструкцией. Пусть, например, наше векторное расслоение $E = T S^2$. Где в народном хозяйстве используются $Hom(\mathcal E, \mathcal A)$?

Интуитивно ясно, что если научиться строить по сечению расслоения сечение касательного расслоения базы(собственно, $Hom(\mathcal E, \mathcal T)$), это будет похоже на задание связности как горизонтальных пространств. Но что-то не получается этот шаг понимания сделать. Не проясните?

[g______d]

В первом случае, как я понял, 1 --- это единица в тензорной алгебре пространства $\mathcal D_1$. А $m(1)$ --- просто элемент пространства $D_1$. Т. е. до факторизации $1$, $m(1)$, $m(1)\otimes m(1)$ и т. д. --- разные элементы, а хочется, чтобы были одинаковыми.

[vanger]

g______d,
Точно! Спасибо!

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Перенёс в соответствующий раздел