Область, в которой справедливо разложение в ряд Тейлора

[KillJoy]

Построить ряд Тейлора в окрестности точки $x_0$, используя стандартные разложения Маклорена основных элементарных функций. Указать область, в которой разложение справедливо.
1)$f(x)=xe^{3+x}, x_0=1$
Пусть $x-1=y$, тогда $x=y+1$.
$f(x)=(y+1)e^{4+y}=(y+1)e^4e^y=(y+1)e^4\sum_0^{\infty}\frac{y^n}{n!}$
$f(x) = xe^4\sum_0^{\infty}\frac{(x-1)^n}{n!}$
Разложение справедливо на $(-\infty,\infty)$
Все верно?
2)$f(x)=sin(3x), x_0=\pi$
Пусть $x-\pi=y$, тогда $x=y+\pi$
$f(x)=\sin(3y+3\pi)=-\sin(3y)=\sum_0^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(3(x-\pi))^n}{(2n+1)!}$
Как найти область, в которой справедливо данное разложение?

[ИСН]

А у первого Вы как (верно, кстати) нашли область?

-- Ср, 2012-12-19, 11:53 --

(разложение в первой тоже верно, только не от той функции. во второй - нет.)

[KillJoy]

Исправил

-- 19.12.2012, 11:57 --

Ну в первом все просто : функция $e^t$ представим своим рядом Маклорена при $t \in (-\infty,\infty)$. Во втором примере аналогичных рассуждений провести не могу. И что не так со второй?

[ИСН]

Исправили? А я лучше могу:
$f(x)=e^x\cdot\underbrace{(1\cdot(x-1)^0+1\cdot(x-1)^1+0\cdot(x-1)^2+...)}_\text{это ряд}$
Что не так с этим ответом? Всё ли "так" с Вашим?

-- Ср, 2012-12-19, 12:13 --

Теперь про второй. Во-первых, запишите ряд для синуса (простого, без тройки и без сдвига). Во-вторых, откуда Вы знаете, что ряд для экспоненты сходится на всей прямой, и почему не знаете оттуда же, где сходится ряд для синуса?

[KillJoy]

1)$f(x)=xe^{3+x}$
$x-1=y$, $x=y+1$
$f(x)=(y+1)e^4e^y=e^4ye^y+e^4e^y$
$f(x)=e^4y\sum_0^{\infty}\frac{y^n}{n!}+e^4\sum_0^{\infty}\frac{y^n} {n!}=e^4(\sum_0^{\infty}\frac{y^{n+1}}{n!}+\sum_0^{\infty}\frac{y^n}{n!})$
$f(x)=e^4\sum_0^{\infty}\frac{y^n(y+1)}{n!}$
$f(x)=e^4\sum_0^{\infty}\frac{(x-1)^nx}{n!}$
Теперь верно?
2)$\sin(\alpha)=\sum_0^{\infty}\frac{(-1)^n\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!}$
Область сходимости $\alpha \in (-\infty,\infty)$. Эту информацию я взял из справочника. Но как объяснить, что область сходимости именно такая, я не знаю как.

[ИСН]

$f(x)=\sum\limits_0^{\infty}(x-1)^ne^x\cdot a_n$, где $a_n=(1,1,0,0,0...)$ Нравится? Нет? Почему? Что не так? Всё ли так...

-- Ср, 2012-12-19, 12:30 --

С рядом для синуса - вот так, хорошо, теперь примените его к своему случаю.
А с экспонентой Вы знаете, как объяснить область сходимости? Да или нет? Если да, то и здесь примерно так же, а если нет, то почему там это Вас не волнует, а здесь волнует?