Комплексный анализ. Посчитать интеграл

[DirecTwiX]

Нужно решить интеграл, использую теорему Коши
$I = \int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}/(x^2+1) dx$

Интегрируем по области в приложении.
$Ca=Cb=0$
Получаем:
$2I+Cr=2\pi i A$, где А - сумма вычетов
Сумма вычетов равна нуля. Как найти интеграл по Cr?

[Pallant]

Тут много не понятного, как мне кажется. Это интеграл по кривой от точки -1 до т 1? тогда зачем интегральная(?) формула коши?Если интеграл по замкнутой кривой, то что там пределы делают -1,1? Что за кривая интегрирования?

[DirecTwiX]

Так решаются действительные интегралы с помощью комплексных.
$R \to \infty$

[Pallant]

если нужно просто вычислить интеграл по окружности Сr, то что бы воспользоваться интегральной формулой коши его нужно на 2 разбить, так как подынтегральная функция имеет две особые точки внутри окружности Cr. Для этого нужно рациональную функцию $\frac{1}{x^2+1}$ разложить: $\frac{A}{x-i}+\frac{B}{x+i}$.

[ewert]

DirecTwiX в сообщении #660304 писал(а):

Так решаются действительные интегралы с помощью комплексных.

Нет, действительные интегралы так не решаются, никакие интегралы вообще никак не решаются. Считается же этот конкретный интеграл за счёт того, что корень (после выбора его ветви) аналитичен в окрестности бесконечности, а вместе с ним и вся подынтегральная функция. И остаётся лишь выписать коэффициент в тамошнем ряде Лорана при $z^{-1}$, который очевиден, т.к. на бесконечности подынтегральная функция именно этой степени примерно и пропорциональна.

[DirecTwiX]

Пробовал так сделать. Но дошёл только до первого члена ряда Тейлора)
А как выписать коэффициент? Можно сделать замену $1/z$ и посчитать вычет в нуле?

Upd: хрень сказал про вычет)

[DirecTwiX]

Посчитал, но не уверен, что правильно $z^{-1}=-3i/2$
Т.е. $Cr=-2\pi i i 3/2=3\pi$
Т.е. интеграл равен $-3\pi$. Как правильно посчитать коэффициент при $z^{-1}$?

[DirecTwiX]

Up

[Keter]

DirecTwiX в сообщении #660284 писал(а):

Нужно решить интеграл

Как интеграл можно решить?

[DirecTwiX]

Конечно же, я имел в виду решить.
Уже указали на это)

[Keter]

DirecTwiX в сообщении #660865 писал(а):

Конечно же, я имел в виду решить.
Уже указали на это)

What?

[ewert]

DirecTwiX в сообщении #660421 писал(а):

Т.е. интеграл равен $-3\pi$.

Вас немножко не настораживает, что интеграл от положительной функции оказался отрицательным?...

[alcoholist]

DirecTwiX в сообщении #660284 писал(а):

$2I+Cr=2\pi i A$

не будет там $2I$, а будет $I-I'$, где $I'$ -- интеграл по нижнему берегу разреза

[ewert]

alcoholist в сообщении #660941 писал(а):

не будет там $2I$, а будет $I-I'$, где $I'$ -- интеграл по нижнему берегу разреза

Это одно и то же. А вот это:

DirecTwiX в сообщении #660284 писал(а):

$...=2\pi i A$, где А - сумма вычетов
Сумма вычетов равна нуля.

и это:

DirecTwiX в сообщении #660421 писал(а):

$z^{-1}=-3i/2$
Т.е. $Cr=-2\pi i i 3/2=3\pi$

-- действительно неверно (безотносительно даже к формальным безобразиям, чисто арифметически неверно).

[DirecTwiX]

Вычеты равны $\frac{\sqrt{2}}{2i}$ и -$\frac{\sqrt{2}}{2i}$
$z^{-1}=i$?
Интеграл равен $2\pi$? Как правильно $z^{-1}$ посчитать,объясните пожалуйста