Ряд Тейлора.

[Oleg_BM]

1. $A=(x_0;y_0)$ - некоторая точка плоскости. Рассмотрим 4 точки, у которых обе координаты отличаются на $h$ от соответствующих координат точки $A$.
$S(h)$ - сумма значений функции в этих точках. Напишите разложение в ряд Тейлора функции $S(h)$ с точностью до $o(h^2)$ при $x_0=1\;\;\;\;\;\;y_0=3$.

В задаче вот такую функцию нужно раскладывать в ряд по $h$?

$$S(h)=\frac{(x_0+h)e^{y_0+h}}{1+\sqrt{x_0+y_0+2h}}+\frac{(x_0-h)e^{y_0-h}}{1+\sqrt{x_0+y_0-2h}}+\frac{(x_0-h)e^{y_0+h}}{1+\sqrt{x_0+y_0}}+\frac{(x_0+h)e^{y_0-h}}{1+\sqrt{x_0+y_0}}$$

$$S(h)=\frac{(1+h)e^{3+h}}{1+\sqrt{4+2h}}+\frac{(1-h)e^{3-h}}{1+\sqrt{4-2h}}+\frac{(1-h)e^{3+h}}{3}+\frac{(1+h)e^{3-h}}{3}$$

[Oleg_BM]

$e^h=1+h+\frac{h^2}{2}+o(h^2)$

$e^{-h}=1-h+\frac{h^2}{2}+o(h^2)$

$1+\sqrt{4+2h}=1+2\sqrt{1+\frac{h}{2}}=1+2\Big({1+\frac{h}{2}}\Big)^{\frac{1}{2}}=1+2\Big({1+\frac{h}{4}-\frac{h^2}{32}+o(h^2)\Big)=3+\dfrac{h}{2}-\dfrac{h^2}{16}+o(h^2)$

$\dfrac{1}{1+\sqrt{4+2h}}=\Big(1+\sqrt{4+2h}\Big)^{-1}=\Big(3+\dfrac{h}{2}-\dfrac{h^2}{16}+o(h^2)\Big)^{-1}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{h}{18}+\dfrac{7h^2}{432}$

Верно? Так и нужно продолжать все раскладывать?