Разностые уравнения

[lygushonok]

Здравствуйте! Помогите пожалуйста
Задача: Проверить линейную независимость системы, определить, решением какого разностного уравнения она является
Cистема:
$y_1(k)=(k+1)2^k$
$y_2(k)=(k+2)2^k$

Через определитель Вроньского посчитала, система линейно независима. Значит вполне может являться решением уравнения. Хочу уточнить, правильно ли я двигаюсь далее.
Общий вид искомого уравнения: $a_2y(k+2)+a_1y(k+1)+a_0=0$ и задание сводится к отысканию коэффициентов, так? Если да, наведите пожалуйста на мысль, каким образом их искать?

[ИСН]

Про характеристическое уравнение слышали что-нибудь, например?

[lygushonok]

Видимо, оно будет выглядеть так:
$a_2q^2+a_1q+a_0=0$
Даже предполагала сама, что решать надо через него, но не понимаю, как

[ИСН]

Так. А как его корни связаны с видом решения системы?

[lygushonok]

Тааак.
Если разные, то $y_1(k) = q_1^k, y_2(k) = q_2^k$
Если кратные, то $y_1(k) = q_i^k, y_2(k) = kq_i^k$
Если комплексные, то $y_1 = p^kcos(kf)$ $y_2 = p^ksin(kf)$
Так здесь $y_1$ и $y_2$ и есть фундаментальная система, которая мне дана...
В моей системе k стоит не только в показателе, значит мне подходит третий случай только. p=2, а f ... Его вообще возможно определить?

[TOTAL]

lygushonok в сообщении #659610 писал(а):

В моей системе k стоит не только в показателе, значит мне подходит третий случай только. p=2, а f ... Его вообще возможно определить?

Напишите рядом
а) данное в задаче решение
б) случай, который "подходит" (не номер случая, а сам живой случай!)

[ИСН]

f определить очень просто: это число, которое стоит рядом с k внутри синуса и косинуса. Какое число в Вашем решении стоит внутри синуса и косинуса?

[lygushonok]

кажется так...
$cos(kf) = k+1$
$sin(kf) = k+2$
$ f = \frac{arccos(k+1)}{k}$
$f = \frac{arcsin(k+2)}{k}$
$q_1_,_2 = p(cos(f)+(-)i sin(f))$
$q_1_,_2 =2(\frac{(k+1)}{cos(k)}+i \frac{(k+2)}{sin(k)})$

[TOTAL]

lygushonok в сообщении #659768 писал(а):

кажется так...
$cos(kf) = k+1$
$sin(kf) = k+2$
$ f = \frac{arccos(k+1)}{k}$
$f = \frac{arcsin(k+2)}{k}$
$q_1_,_2 = p(cos(f)+(-)i sin(f))$
$q_1_,_2 =2(\frac{(k+1)}{cos(k)}+i \frac{(k+2)}{sin(k)})$

Если где-то здесь есть решение какого-то разностного уравнения, то подставьте это якобы решение в уравнение, чтобы убедиться, что оно действительно решение. Продемонстрируйте здесь такую проверку.

[ИСН]

(Оффтоп)

case 1: $q_1^k,\, q_2^k$
case 2: $q^k,\, kq^k$
case 3: КРОВЬ КИШКИ СИНУС КОСИНУС НЁХ

Но ведь f - это должна быть константа, а у Вас получилось, что она (оно) зависит от k. Хорошо ли это?

[lygushonok]

TOTAL в сообщении #659772 писал(а):

Если где-то здесь есть решение какого-то разностного уравнения, то подставьте это якобы решение в уравнение, чтобы убедиться, что оно действительно решение. Продемонстрируйте здесь такую проверку.

у меня же неизвестны коэффициенты, я пока не могу ничего проверить=(

[lygushonok]

Еще немного странно выглядит, что одновременно

$$f = \frac{arccos(k+1)}{k}}$
$f = \frac{arcsin(k+2)}{k}}$

Может правда не тот вариант корней характеристического уравнения выбрала... Но другие же не подходят((

-- 17.12.2012, 22:22 --

И вообще я не понимаю, что мне даст нахождение $q_1 и q_2$, разве они помогут в нахождении коэффициентов? Может я изначально делаю что-то не то?

[ИСН]

Изначально всё то. Проблема с видом. Почему Вы считаете, что вид именно такой: с синусами и косинусами?

-- Пн, 2012-12-17, 23:36 --

Ну то есть понятно, почему: потому что другие не подходят. А этот что, подходит?

[lygushonok]

Да, проблема с видом... Просто на самом деле в точности не подходит ни один. А других вариантов лично я не смогла найти, хотя уже кучу всего перерыла. Вот и получается дилемма. Может и существует какой то вид корней, под который подходит мое решение, а я о нем не знаю, ну или можно мой преобразовать как то для того чтоб подходил под один из этих, но тут уже никак не могу придумать способ...

[ИСН]

Других не ищите, это все виды.
Тут надо понять, что значит "система является решением".
Про числа Фибоначчи слышали, например?