Сходимость ряда

[Limit79]

Исследовать ряд на сходимость:

$\sum_{n=1}^{\infty} n^3 \tg^5 \left(\frac{\pi}{n} \right)$

Я думал сравнить его с рядом $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ по предельному признаку сравнения.

Но выходят трудности с пределом $\lim_{n \to \infty} n^5 \tg^5 \left(\frac{\pi}{n} \right)$ .

-- 17.12.2012, 00:17 --

Необходимый признак сходимости выполняется.

-- 17.12.2012, 00:18 --

Я понимаю, что тут ни Даламбер, ни Коши, ни какие другие, а какой-то из двух признаков сравнения...

[ИСН]

Решили как-то мужики сравнить, что тяжелее: пять Камазов или пять слонов. Нашли большие весы. Но всё-таки недостаточно большие: на них влезал с каждой стороны только один слон (или Камаз).
Задумались мужики...

[Limit79]

ИСН
Это, видимо к тому, что неправильно подобран ряд, с которым я сравниваю исходный?

Тот ряд, с которым сравниваю, я брал из того расчета, чтобы получился конечный ненулевой предел, в данном случае, маткад подсказывает, что он будет равен $ \pi^5$, только вот как он (маткад) дошел до этого...

[ИСН]

Нет (подобран-то правильно), это к пределу, с которым у Вас трудности.

[Limit79]

ИСН
Тогда не понимаю, что Вы имели ввиду. Я пробовал делать замену $n=\frac{1}{t}$, тангенс писал в виде синус делить на косинус, и пытался как-то свести к первому замечательному пределу, но не получилось...

-- 17.12.2012, 00:34 --

Эх, а хорошая идея была: $ \lim_{t \to 0} \frac{\sin^5(\pi t)}{t^5 \cos^5(\pi t)} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin^5(\pi t)}{t^5}$

Ну почти первый замечательный предел. Я просто не понимаю, как так можно вынести $\pi^5$ из синуса...

-- 17.12.2012, 00:36 --

Или же все просто: $\lim_{t \to 0} \frac{\sin^5(\pi t)}{t^5 \cos^5(\pi t)} = \lim_{t \to 0} \frac{\pi^5 \sin^5(\pi t)}{(t \pi)^5} = 1 \cdot \pi^5 = \pi^5$ ?

[ИСН]

Мужики продолжают загонять слонов на весы (куда те не влезают). Слоны нервничают, ревут, уже затоптали несколько мужиков.

[Limit79]

ИСН
Можно было проще, я правильно перефразирую Ваше высказывание? Но...

-- 17.12.2012, 00:49 --

Или же, неужели в моей моем варианте решения есть ошибки? Все логично же.

-- 17.12.2012, 00:52 --

Или же Вы говорите, что я все усложняю? Изначально неопределенность вида ${\infty \cdot 0 }$

[ИСН]

Ошибок нет: Вы же проверили железкой, что $\pi^5$. Мужики загнали-таки слонов на весы. Четыре слона стояли на весах каждый одной ногой, а пятый стоял у них на головах. С Камазами было ещё сложнее.

[Limit79]

ИСН
Значит кол-во слонов можно было сократить, по какой-нибудь эквивалентности может?

-- 17.12.2012, 01:11 --

Мне подсказали, я доказал эквивалентность $\tg(x) \sim x$ при $x \to 0$

[ИСН]

Тут проснулся Михалыч и сказал:
- Мужики, а чего вы не взвесили одного слона против одного грузовика?
Уцелевшие мужики с медленно открывающимися ртами в озарении уставились друг на друга...

[Limit79]

ИСН
Я вот до этого Вашего поста, так и не понял, причем тут эта ситуация со слонами и мужиками, а там вот что... Но Вы все время утаивали некий ключевой момент - Михалыча!