Ряды

[masterflomaster]

Правильно ли я решил?

Узнать при каких x ряд $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}\cdot4^{\frac{n}{x-2}}$ сходится абсолютно, условно, расходится.

Решение
Воспользуемся признаком Даламбера:

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{C_{n+1}}{C_{n}} \rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{4^{\frac{n + 1}{x-2}}\cdot n}{(n+1)\cdot4^{\frac{n}{x-2}}} \rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{4^{\frac{1}{x-2}}\cdot n}{(n+1)} \rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty}4^{\frac{1}{x-2}} \rightarrow 4^{\frac{1}{x-2}}$


1) Мы не можем рассматривать абсолютную и условную сходимость, т.к. ряд не знакопеременный.

2) $4^{\frac{1}{x-2}} < 1;$

$\frac{1}{x-2}\ln4 < 0;$

$\frac{1}{x-2} < 0;$

$x -2 > 1;$

$x > 3;$ сходится.

3)$x < 3;$ расходится.

[zhoraster]

masterflomaster в сообщении #658999 писал(а):

1) Мы не можем рассматривать абсолютную и условную сходимость, т.к. ряд не знакопеременный.

Очень даже можем. Просто надо сказать, что рад одновременно сходится (или расходится) условно и абсолютно.

Цитата:

$\frac{1}{x-2} < 0;$

$x -2 > 1;$

Тут ошибка.

[masterflomaster]

zhoraster в сообщении #659016 писал(а):

masterflomaster в сообщении #658999 писал(а):

1) Мы не можем рассматривать абсолютную и условную сходимость, т.к. ряд не знакопеременный.

Очень даже можем. Просто надо сказать, что рад одновременно сходится (или расходится) условно и абсолютно.

Цитата:

$\frac{1}{x-2} < 0;$

$x -2 > 1;$

Тут ошибка.

При $x<2$ - ряд одновременно сходится условно и абсолютно.
При $x>2$ - ряд расходится.

Так?

Не забывайте окружать формулы знаками доллара. // zhoraster

[zhoraster]

Правильно.

[masterflomaster]

Большое спасибо)

(Оффтоп)

По-поводу оформления: у меня же здесь все формулы окружены долларами. Разве нет???

[zhoraster]

(Оффтоп)

masterflomaster в сообщении #659305 писал(а):

у меня же здесь все формулы окружены долларами.

Не догадываетесь почему?

[masterflomaster]

(Оффтоп)

Если Вы модератор, значит Вы могли как-то сами исправить. Я прав?)