Ряды

[masterflomaster]

Правильно ли я решил?

Указать для каких x ряд $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{1 + e^{-nx}}$ сходится абсолютно, условно, расходится.

Решение
1)Мы не можем рассматривать абсолютную и условную сходимость, т.к. ряд не знакопеременный.

2) при $x < 0$, $e^{-nx} \rightarrow \infty$ (при $n\rightarrow\infty) \Rightarrow \frac{1}{1 + e^{-nx}} \sim \frac{1}{e^{-nx}}; \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{e^{-nx}}$ сходится при $e^{-nx} < 1 (e^{-nx} < 1 \Rightarrow x < 0);$

3) при $x \geq 0$, $e^{-nx} \rightarrow 0 \Rightarrow \frac{1}{1 + e^{-nx}} \rightarrow 1 \Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{1 + e^{-nx}}$ расходится.

[zhoraster]

masterflomaster в сообщении #658998 писал(а):

3) при $x \geq 0$, $e^{-nx} \rightarrow 0$

Это неверно; случай $x=0$ рассмотрите отдельно.

[masterflomaster]

zhoraster в сообщении #659018 писал(а):

masterflomaster в сообщении #658998 писал(а):

3) при $x \geq 0$, $e^{-nx} \rightarrow 0$

Это неверно; случай $x=0$ рассмотрите отдельно.

3) При $x < 0$ $e^{-nx} \rightarrow 0 \Rightarrow \frac{1}{1 + e^{-nx}} \rightarrow 1 \Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{1 + e^{-nx}}$ расходится.

4) при $x = 0$ $e^{-nx} = 1 \Rightarrow$ наша сумма ряда равна сумме ряда $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{2}$, следовательно ряд расходится.

[zhoraster]

Правильно. При желании можно оба случая объединить, написав: при $x\le 0$ $(1+e^{-nx})^{-1}\not\to 0$, $n\to\infty$.

[masterflomaster]

Большое спасибо)