Объем тела

[Limit79]

Вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями: $z=2-20((x+1)^2+y^2), z = -40x-38$ .

Мое решение:

Данное тело ограничено сверху - параболоидом, снизу - плоскостью. Проекция на плоскость $xOy$ - окружность $2-20((x+1)^2+y^2)=0$ .

Перехожу к цилиндрическим координатам:

Параболоид: $z=-18-20r^2-40r \cos(\varphi )$

Прямая: $z = -40r \cos(\varphi)-38$ .

Пределы по $z$ найдены.

Пределы по $\varphi$, очевидно, $0 \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi$ .

Проблема с пределами интегрирования по $r$, в виду того, что центр окружности смещен. Если бы центр окружности был бы в начале координат, то $r$ было бы от $0$ до радиуса этой окружности (проекции параболоида на плоскость $xOy$), а вот со смещенным центром не знаю как быть...

-- 16.12.2012, 04:40 --

Была мысль перенести вершину параболоида в начало координат, то есть уравнение параболоида тогда будет иметь вид: $z=2-20((x+1-1)^2+y^2) = 2-20(x^2+y^2)$, а плоскости: $z = -40(x-1)-38= -40x+40-38 = -40x+2$, но точно не знаю, можно ли так сделать, и правильно ли будет данное преобразование...

[Nacuott]

Почему Вы решили, что центр окружности смещен?

[Limit79]

Nacuott
Проекция параболоида на $xOy$ - окружность: $2-20((x+1)^2+y^2)=0$

$-20((x+1)^2+y^2)=-2$

$20((x+1)^2+y^2)=2$

$(x+1)^2+y^2=\frac{1}{10}$

$(x+1)^2+y^2={\frac{1}{\sqrt{10}}}^2$ - Окружность с центром в $(-1;0)$, радиуса $\frac{1}{\sqrt{10}}$

Товарищи, мне бы хоть крошечную мысль, а дальше сам разберусь. Просто во всех примерах, которые нашел - окружность либо в центре, либо касается центра, и там понятно, какое будет $r$.

[TOTAL]

Limit79 в сообщении #659205 писал(а):

мне бы хоть крошечную мысль, а дальше сам разберусь

А если так
$x=-1+r\cos(t)$
$y=r\sin(t)$

[Nacuott]

Почему это вы положили z=0?
Чтобы найти проекцию на ось XoY нужно решить систему уравнений, задаущих поверхности.
Получите параметрическое уравнение эллипса, которое спроектируется в окружность с центром в начале координат.
Вот картинка.

[Limit79]

Nacuott
Пересекаем параболоид плоскостью $z=0$ (то есть плоскостью $xOy$). Но все же, у этого параболоида вершина в $(-1;0)$, а эта вершина - центр окружности, в которую проецируется параболоид, как может получится так, что при проецировании центр сместится?

-- 16.12.2012, 17:28 --

TOTAL
То есть так можно сделать? Я описал подобную мысль в конце первого поста, но были сомнения, что при таком преобразовании получится уже не параболоид вращения, а буквально сейчас я понял, что мы же меняем только координаты центра, а не коэффициенты перед полными квадратами, которые как раз влияют на полуоси.

-- 16.12.2012, 17:29 --

Nacuott
Как раз и будет же система уравнений: $z=0, z=20-2((x+1)^2+y^2)$ .

-- 16.12.2012, 17:52 --

Еще у меня такое ощущение, не будет ли эта плоскость касательной к параболоиду, так как:

(Оффтоп)

[Nacuott]

Она не касается.Смотрите картинку вверху.И центр окружности радиусом единица находится в центре, центр не смещен.
Если Вы решите систему (только z не равно нулю, а подставьте уравнение плоскости), то получите проекцию эллипса на плоскость XoY - окружность радиуса единица с центром в начале координат.Решите систему- увидите.

[Limit79]

Nacuott
Подскажите, пожалуйста, в какой программе Вы строите столь замечательные графики? А то с пространственным представлением всегда была проблема...

[Nacuott]

В Mathcad`е

[Limit79]

Я не очень понимаю, как решить систему с тремя неизвестными и с двумя уравнениями, мысль есть такая: приравнять уравнение плоскости к уравнению параболоида, и в итоге мы получим выражение, содержащее $x$ и $y$, которое как раз задает эту единичную окружность?

-- 16.12.2012, 18:22 --

Nacuott
А не могли бы Вы прислать маткадовский файл, или скрин самого кода, или же там надо в свойствах графика что-то менять? Был бы признателен Вам.

-- 16.12.2012, 18:40 --

$-40x-38=2-20((x+1)^2+y^2)$

$x^2+y^2=1$ - искомая проекция.

$V = \int_{0}^{2 \pi} d \varphi \int_{0}^{1} rdr \int_{-40r \ cos(\varphi)-38}^{2-20((r \cos( \varphi)+1)^2+(r \sin( \varphi)^2} dz$


Nacuott
Огромное Вам человеческое спасибо, Вы научили меня тому моменту, в котором я всегда делал ошибку.

[Nacuott]

В Mathcad`е
Вам нужно найти объем вот такого кусочка параболоида.
Между прочим, получается очень симпатичный ответ

[Limit79]

Nacuott
У меня получилось $10 \pi$ .

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Nacuott, и не противно вам в Маткаде работать?

[Nacuott]

Limit79 в сообщении #659304 писал(а):

Nacuott
У меня получилось $10 \pi$ .

И у меня так