Равномерная сходимость функциональной последовательности

[sergeysleep]

Исследовать на равномерную сходимость:
$f_n(x) = \sqrt{n}\sin(\frac{x}{\sqrt{n}})$ на $E_2 = [\pi,+\infty]$

Пробовал так:
Предельная функция: $(x) = x$
$|f_n(x)-f(x)|=|\sqrt{n}\sin(\frac{x}{\sqrt{n}}) - x| = x - \sqrt{n}\sin(\frac{x}{\sqrt{n}})$

Производная разности: $(|f_n(x)-f(x)|)' = 1-\cos(\frac{x}{\sqrt{n}}) \geq 0$

Рассмотрим в окрестности точек $2\pi\sqrt{n}$:
пусть $X = [2\pi\sqrt{n}-\varepsilon,2\pi\sqrt{n}]$:
$\lim\limits_{n \to \infty} \sup\limits_{x \in X} |f_n(x) - f(x)| = \lim\limits_{n \to \infty} (2\pi\sqrt{n} - \sqrt{n}\sin(\frac{2\pi\sqrt{n}}{\sqrt{n}})) = \lim\limits_{n \to \infty}2\pi\sqrt{n}=+\infty$

Следовательно, равномерная сходимость отсутствует на подмножестве мн-ва $E_2$, а значит отсутствует и на всем $E_2$

Вопрос: есть ли ошибка здесь и, если есть, то что делать?

[SpBTimes]

Верно, только непонятно, зачем производную рассматривать. Сразу рассмотреть эту последовательность точек, и дело в шляпе