2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Диф уравнения...логика в понимании решений
Сообщение15.12.2012, 11:31 
Аватара пользователя


08/02/06
17
Вопрос по дифференциальным уравнениям

Почему все решения диф. уравнения первого порядка покрываются одной функцией а для второго порядка суммой двух функций?
Any obvious logic behind that?

Thanks.
J

 Профиль  
                  
 
 Re: Диф уравнения...логика в понимании решений
Сообщение15.12.2012, 11:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Возьмём диффур первого порядка $y'=1$. Его решение - $y=x+C$.
Возьмём диффур второго порядка $y''=0$. Его решение - $y=C_1x+C_2$.
Теперь Вы говорите: первое - это одна функция, а второе - сумма двух функций.
Да ну?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диф уравнения...логика в понимании решений
Сообщение15.12.2012, 12:11 
Аватара пользователя


08/02/06
17
Выходит что и для первого и второго порядка все решения покрываются суммой двух функций. А почему двумя а не тремя?

Спасибо за ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диф уравнения...логика в понимании решений
Сообщение15.12.2012, 12:13 


15/04/12
162
По теореме существования и единственности, для линейных уравнений пространство решений изоморфно пространству начальных условий (пространство решений линейно из линейности уравнения), то есть для уравнений 1го порядка одномерно, второго двумерно и тд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диф уравнения...логика в понимании решений
Сообщение15.12.2012, 16:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Что такое "сумма двух функций" и чем она отличается от просто функции?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диф уравнения...логика в понимании решений
Сообщение15.12.2012, 16:50 
Аватара пользователя


08/02/06
17
Каждый из этих функций являются решением

-- Сб дек 15, 2012 16:50:19 --

Каждый из этих функций являются решением

 Профиль  
                  
 
 Re: Диф уравнения...логика в понимании решений
Сообщение15.12.2012, 16:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Не понял. Каких функций? Решением чего?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диф уравнения...логика в понимании решений
Сообщение15.12.2012, 17:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
А если взять уравнение $y''=1$, то решением будет $y=\frac{x^2}2+C_1x+C_2$.
А решением уравнения $y''+y'-2y=8x^5$ будет $y=C_1e^x+C_2e^{-2x}-4x^5-10x^4-60x^3-150x^2-330x-315$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диф уравнения...логика в понимании решений
Сообщение15.12.2012, 19:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12410
Jabbar Bayramov в сообщении #658645 писал(а):
все решения диф. уравнения первого порядка покрываются одной функцией а для второго порядка суммой двух функций

Потерялось "линейных".

 Профиль  
                  
 
 Re: Диф уравнения...логика в понимании решений
Сообщение16.12.2012, 21:28 
Аватара пользователя


08/02/06
17
Уравнение вида $y' + ay = 0 и y'' + ay' + by =0$
В первом случае одна функция плюс постоянная $y= f(x) + C$, во втором случае сумма двух функций $y = C_1 f_1+C_2 f_2$
Я искал простое объяснение

 Профиль  
                  
 
 Re: Диф уравнения...логика в понимании решений
Сообщение16.12.2012, 21:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Проверим этот тезис.
Уравнение: $y'+y=0$
Какое будет общее решение? Действительно ли $f(x) + C$? Какая f?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диф уравнения...логика в понимании решений
Сообщение16.12.2012, 21:58 
Аватара пользователя


08/02/06
17
$Ce^{-x}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диф уравнения...логика в понимании решений
Сообщение16.12.2012, 21:59 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
$Cf(x) \not\equiv f(x) + C$.

Jabbar Bayramov в сообщении #659455 писал(а):
Я искал простое объяснение
Есть теорема о том, что такие уравнения имеют такие решения. В её доказательстве как раз объясняется, откуда, как, почему. :wink:

(По секрету.)

Ну вроде бы. У меня до него руки всё как-то не дойдут. :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Диф уравнения...логика в понимании решений
Сообщение16.12.2012, 22:05 
Аватара пользователя


08/02/06
17
Arseniiv, а интернет ресурс знаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диф уравнения...логика в понимании решений
Сообщение16.12.2012, 22:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Jabbar Bayramov, Вы хотите непонятного. "Назад нельзя - ножной тормоз." Ресурс. Какой ресурс. Где будет доказан факт. Какой факт. Какой? Что решение любого диффура первого порядка имеет вид $y= f(x) + C$? Но это же не так.
arseniiv и CptPwnage, вы хотите преобразовать непонятное в понятное. Суёте человеку теорему существования и единственности. А ведь из его слов пока никак не следует, что нужна именно она. Может, нужна теорема завывания и таинственности. Может, ещё какая-нибудь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group