Теория вероятностей,характеристические функции

[profrotter]

За недостатком терпения и по необходимости занятся другими делами, я закончу начатое дело. Будет хорошая тема - на неё можно будет сослаться в дальнейшем, особенно если --mS-- порекомендует следом хорошие учебники по рассматриваемому вопросу.

Рассматриваем вторую-четёртую производные ХФ

$$\theta''(t)=-\sum\limits_{n=0}^{N-1}P_nx_n^2\cos(x_nt)$$

Вторая производная в нуле

$$\theta''(0)=-\sum\limits_{n=0}^{N-1}P_nx_n^2$$

должна быть отлична от нуля и отрицательна, поскольку знак минус стоит перед суммой положительных слагаемых. Третья производная

$$\theta'''(t)=\sum\limits_{n=0}^{N-1}P_nx_n^3\sin(x_nt)$$

Её значение в нуле

$$\theta'''(0)=0$$

Нетрудно сообразить, что синусы при дифференцировании будут появляться через раз и все производные периодической действительной ХФ нечётного порядка в нуле будут равны нулю. Четвёртая производная

$$\theta''''(t)=\sum\limits_{n=0}^{N-1}P_nx_n^4\cos(x_nt)$$

в нуле

$$\theta''''(0)=\sum\limits_{n=0}^{N-1}P_nx_n^4$$

должна быть отлична от нуля и положительна, как сумма положительных слагаемых. И косинусы будут появляться через раз. Значит все производные чётного порядка должны быть отличны от нуля.

Мы проделали некий путь с простой математикой и установили какими свойствами должна обладать периодическая действительная ХФ. Скажем дополнительно, что поскольку разложение в ряд Фурье единственно и мы имеем в рассматриваемом случае разложение по косинусам, то значения случайной величины можно перенумеровать так, чтобы они были чётно-симметричны относительно нулевого номера.

Теперь обратим внимание на конструкции, которые нам встретились при подстановки нуля: $m_2=\sum\limits_{n=0}^{N-1}P_nx_n^2$ и $m_4=\sum\limits_{n=0}^{N-1}P_nx_n^4$ это так называемые начальные моменты распределения. В общем случае начальным моментом порядка $k$ называется математическое ожидание $m_k=M\{X^k\}$. Встретились они не случайно. Дело в том, что производные ХФ в нуле могут быть использованы для определения моментов. Для того, чтобы увидеть это вернёмся к определению ХФ и рассмотрим её к-ю производную:

$$\frac{d^k\theta(t)}{dt^k}=\frac{d^k}{dt^k}M\{e^{iXt}\}$$

Дифференцирование и мат. ожидание обладают свойством линейности, что позволяет дифференцировать под знаком мат. ожидания:

$$\frac{d^k\theta(t)}{dt^k}=M\{\frac{d^k}{dt^k}e^{iXt}\}=M\{i^kX^ke^{iXt}\}$$

К-я производная в нуле

$$\frac{d^k\theta}{dt^k}(0)=i^kM\{X^k\}=i^km_k$$

Откуда

$$m_k=\frac{1}{i^k}\frac{d^k\theta}{dt^k}(0)$$

Полученный результат верен и для случая непрерывной величины и для случая дискретной. Конечно можно было непосредственно исходить из него и ничего не понять о том, откуда что берётся. Есть вот такие моменты и всё тут.

Иногда считают, что степенные моменты (начальные и центральные) являются прерогативой исключительно теории вероятностей и кто не знает моментов - тот плохо изучил теорию вероятностей. Это узкий взгляд. Степенные и иные похожие моменты всего лишь являются числовыми характеристиками, соответствующие закону распределения и дают представление о его условном центре симметрии, его условной ширине относительно этого центра и тп. Задачи подобной характеризации встречаются не только в теории вероятностей, но и в физике и технике. В радиотехнике, например, моменты используются для определения эффективной длительности импульса или ширины спектра. Список применений можно продолжить.

[--mS--]

profrotter в сообщении #659784 писал(а):

Будет хорошая тема - на неё можно будет сослаться в дальнейшем, особенно если --mS-- порекомендует следом хорошие учебники по рассматриваемому вопросу.

Категорически требую не приплетать меня. Вам хочется написать очередное пособие "на пальцах" для тех, кто не хочет и не может читать нормальные книги? Без меня.

profrotter в сообщении #659784 писал(а):

Для того, чтобы увидеть это вернёмся к определению ХФ и рассмотрим её к-ю производную:

$$\frac{d^k\theta(t)}{dt^k}=\frac{d^k}{dt^k}M\{e^{iXt}\}$$

Дифференцирование и мат. ожидание обладают свойством линейности, что позволяет дифференцировать под знаком мат. ожидания:

$$\frac{d^k\theta(t)}{dt^k}=M\{\frac{d^k}{dt^k}e^{iXt}\}=M\{i^kX^ke^{iXt}\}$$

К-я производная в нуле

$$\frac{d^k\theta}{dt^k}(0)=i^kM\{X^k\}=i^km_k$$

Откуда

$$m_k=\frac{1}{i^k}\frac{d^k\theta}{dt^k}(0)$$

Полученный результат верен и для случая непрерывной величины и для случая дискретной.

Стоит привести примеры:
а) х.ф., которую нельзя дифференцировать в нуле, хотя и дифференцирование, и матожидание не перестали обладать свойствами линейности,
б) х.ф., у которой есть производная в нуле, но у распределения нет математического ожидания,
и т.д.

[profrotter]

--mS-- в сообщении #659950 писал(а):

Вам хочется написать очередное пособие "на пальцах" для тех, кто не хочет и не может читать нормальные книги?

Я был уверен, что я как раз и просил вас привести тут нормальные книги.

--mS-- в сообщении #659950 писал(а):

Стоит привести примеры:

Нет преграды - приводите!

[profrotter]

g______d в сообщении #658982 писал(а):

Но можно пойти дальше: понять, что за величина отвечает функции (это просто: надо разложить на экспоненты), а потом посмотреть, может ли она быть суммой трех независимых одинаково распределенных дискретных случайных величин. У меня получилось, что не может просто из подсчета количества возможных значений.

Теперь к этому. Я имел ввиду вот что. Заданная ХФ является периодической и её можно разложить в ряд Фурье. Ряд Фурье будет не ограниченным. То есть если предположить, что заданная ХФ соответствует некоторой случайной величине, то эта случайная величина имеет бесконечно-много возможных значений. Потом рассматриваем сумму трёх таких независимых величин и получаем $\cos^2(t)$. Такой характеристической функции соотвествтует СВ с тремя значениями. Но тогда СВ с тремя возможными значениями получается при сложении трёх независимых СВ с бесконечным количеством возможных значений. Пришли к противоречию. Но смущает меня то, что для определения количества возможных значений исходных СВ мы ведь должны разложить заданную ХФ в ряд Фурье. А когда это сделано мы итак можем посмотреть на коэффициенты и сделать вывод о том является ли заданная функция ХФ или нет.

А как Вы определяли количество возможных значений, если не секрет конечно?

[g______d]

profrotter в сообщении #660087 писал(а):

А как Вы определяли количество возможных значений, если не секрет конечно?

Не секрет, конечно.

Если есть три независимые дискретные одинаково распределенные величины, то их сумма не может принимать ровно 3 значения с положительными вероятностями. Либо 1 (если слагаемые почти наверное являются константами), либо как минимум 4 (если слагаемые с положительной вероятностью принимают хотя бы 2 значения).

[profrotter]

g______d, судя по тем учебникам, которые рекомендованы автору темы, думаю, от неё ожидают вашего решения.

[--mS--]

Вряд ли это - учебники, которые рекомендованы. Скорее, это учебники, которые ТС не лень читать . Это уже вторая тема за последние две недели с корнями из модуля косинуса, вряд ли такие задачи дают там, где читают Гмурмана.

[Julia2012]

Да,это учебники,которые рекомендованы!Да,Гмурман и Вентцель. Теория вот такая, а расчетки такие сложные. Когда мне дали задание я предполагала, что раз эти учебники рекомендованы,значит я могу найти в них ответ,ход решения,хоть какую-то полезную информацию и честно(!) искала. Но нет. Поэтому я написала на этот форум. Спасибо вам, profrotter, за стремление мне помочь, извините, что я, как человек,читающий Гмурмана, не понимала вас сразу, но я стремилась понять. Я прочту ваш подробный ответ мне и приложу все усилия,чтобы разобраться. Спасибо вам большое.

[--mS--]

Что за вуз? Хочу убедиться, что именно эти источники и рекомендованы.

[ewert]

--mS-- в сообщении #660276 писал(а):

Что за вуз? Хочу убедиться,

Возможно, что дело не в вузе, а в ассистенте. Некоторые молодые ассистенты, впервые приходя на работу в технический вуз с какого-нибудь матмеха или наоборот, искренне не понимают, что здесь вам не тут, и заламывают такие задания, что мама не горюй. А кое-кто даже и через несколько лет из этого состояния так и не выходит.

[--mS--]

Видимо, Вам здорово не везло с ассистентами, сочувствую.