Задача из статьи Арнольда в УМН

[DLL]

Задача такая. Найти критические точки и критические значения отображения:

$$z \to z^2 + 2z.$$

Просветите неграмотного, о чем здесь речь.

[Aritaborian]

Ну, приравняйте производную к нулю, что ли.

[alcoholist]

Это отображение комплексной плоскости в себя.

Запишите его через обычные вещественные координаты $z=x+iy$, приравняйте нулю якобиан этого преобразования. Критические точки там лежат на окружности.

[DLL]

Почему на окружности? Якобиан обращается в нуль там же, где и производная.

[Munin]

alcoholist в сообщении #658591 писал(а):

Запишите его через обычные вещественные координаты $z=x+iy$, приравняйте нулю якобиан этого преобразования. Критические точки там лежат на окружности.

У меня получилось $|\mathcal{J}|=(2x+2)^2+(2y)^2=0.$ Как DLL говорит. Тоже не понял, почему на окружности.

[alcoholist]

да, обсчитался)

ну, значит $(-1;0)$ -- единственная критическая точка

[DLL]

Что-то я не прочувствовал этой задачи.
Тривиум планнировался Арнольдом как сборка 100 идейных задач.

[Munin]

У меня такое чувство, что задача, собственно, на знание термина "критическая точка". Он используется (особенно в любимых Арнольдом темах) намного шире, чем для одномерных отображений.

[Yu_K]

Там стоит сопряженное $z$ во втором слагаемом.


- такое получается отображение.

[alcoholist]

Yu_K в сообщении #661697 писал(а):

Там стоит сопряженное $z$ во втором слагаемом.

Во! Я же помнил про окружность)

[Yu_K]

Ну да, если взять оригинальную версию ТРИВИУМА - то там задача немного другая, чем у топикстартера.

(Оффтоп)

alcoholist А Вы ответы на все задачи те помните?

[Munin]

Yu_K в сообщении #661697 писал(а):

Там стоит сопряженное $z$ во втором слагаемом.

О, совсем другое дело!

[wronskian]

(Оффтоп)

Yu_K
а в чем вы график построили, если не секрет?

[Yu_K]

(Оффтоп)

wronskian
Mathcad.

[Munin]

Кстати, кажется, это одно из любимых отображений Арнольда, не помню только, как называется... но картинку я в его "Теории катастроф" точно видел...

(В смысле, конечно, Арнольд его любил, а не оно носит его имя...)