max value

[Keter]

Доказать, что $\max \{ ( 1+x^{\frac{1}{x}}) ( 1+x^{-x} ) \}=4.$ Как такое решается? Кроме производной - it's so big.
Но если что, у меня получилась:

$$\dfrac{d}{dx} \bigg( ( 1+x^{\frac{1}{x}}) ( 1+x^{-x} ) \bigg)=\bigg( 1-\ln x \bigg) \bigg( x^{\frac{1}{x}-2}+x^{\frac{1}{x}-x-2} \bigg)+\bigg( 1+\ln x \bigg) \bigg( x^{\frac{1}{x}-x} - x^{-x} \bigg)$$

[nnosipov]

Достаточно доказать, что $x^{-x}+x^{1/x} \leqslant 2$.

[Keter]

nnosipov, $a^{\frac{1}{a}}+\bigg( \dfrac{1}{a} \bigg)^a \le 2.$ Не понимаю, как это доказать?