Задача областной олимпиады

[DjD USB]

Пусть $a,b,c-$ действительные числа, удовлетворяющие системе уравнений:

$$$\left\{\begin{matrix} a+b+c=2\\ a^2+b^2+c^2=2 \end{matrix}\right.$$

Докажите, что среди этих чисел найдутся два, отличающиеся не менее, чем на 1.
Идей вообще нет.

[venco]

Ввиду симметрии можно упорядочить переменные, например, пусть $a$ - среднее значение, а $b=a+x$, $c=a-y$, где $x$ и $y$ - неотрицательные.
Надо доказать, что $x+y\ge0$. Попробуйте подставить и немного покрутить, там легко получается то, что нам нужно.

[DjD USB]

venco в сообщении #658360 писал(а):

Надо доказать, что $x+y\ge0$.

Зачем? Вы же сами сказали, что они неотрицательные.

[Praded]

Если одно из чисел отрицательное, то из первого уравнения сразу следует требуемое.
Если все числа положительные, то из системы легко получить $(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=2$, откуда следует требуемое.

[DjD USB]

Praded в сообщении #658368 писал(а):

Если одно из чисел отрицательное, то из первого уравнения сразу следует требуемое.

Вообще в этой системе это не возможно .
А, так да, понял, спасибо.

[venco]

DjD USB в сообщении #658363 писал(а):

venco в сообщении #658360 писал(а):

Надо доказать, что $x+y\ge0$.

Зачем? Вы же сами сказали, что они неотрицательные.

Ой, $x+y\ge1$ конечно.

[ewert]

Для школьников это задачка, может, и олимпиадна, но геометрически она грубовата: очевидно, что эта система задаёт окружность с центром в точке $a=b=c=\frac23$ и радиуса, соответственно, $\sqrt{2-3\cdot\frac49}=\sqrt{\frac23}$.

[DLL]

ewert в сообщении #658383 писал(а):

Для школьников это задачка, может, и олимпиадна, но геометрически она грубовата: очевидно, что эта система задаёт окружность с центром в точке $a=b=c=\frac23$ и радиуса, соответственно, $\sqrt{2-3\cdot\frac49}=\sqrt{\frac23}$.

Немного не понял. А что из этого следует?

[gris]

Первое уравнение плоскости, второе сферы.

[Cash]

$\sqrt{\frac23}$ - радиус описанной окружности около равностороннего треугольника со стороной $1$

[EtCetera]

gris в сообщении #658525 писал(а):

Первое уравнение плоскости, второе сферы.

В вопросе было не "откуда", а "куда".

Cash в сообщении #658532 писал(а):

$\sqrt{\frac23}$ - радиус описанной окружности около равностороннего треугольника со стороной $1$

А мне всегда казалось, что поменьше. Так или иначе, к рассматриваемому вопросу это отношения не имеет.

[Cash]

Ерунду написал... Действительно не имеет.

[TOTAL]

$0 \le a \le b \le c$

$(a-c)^2 = 1 + (b-a)(c-b)$

[gris]

Cash, Вы, по-моему, к себе очень строги. Как это не имеет? Это радиус окружности, описанной около треугольника со стороной $\sqrt2$. А что есть множество точек, попарные расстояния между координатами которых меньше 1? Унутренность прызьмы.

[EtCetera]

gris в сообщении #658903 писал(а):

А что есть множество точек, попарные расстояния между координатами которых меньше 1? Унутренность прызьмы.

А не октаэдра?