Отображение полукруга на верхнюю полуплоскость

[patrickj]

Доброго времени суток, господа.

Ставиться такая задача: Отобразить область $|z|<1, \operatorname{Im}z>0$ на $\operatorname{Im}w>0$

Мы делали так:
Строили функцию, которая отображает точку $-1$ в точку $0$ и $1$ в $\infty$.
Получаем функцию: $w = \frac {z + 1} {z - 1}$
Смотрим куда такая функция отображает нашу область и поворачиваем,что б область была в первой четверти.
Далее возводим в квадрат.

Ответ $w = (\frac {z + 1} {1 - z})^2$.
Здесь мне не понятно, почему мы строим функцию именно таким образом, то есть $-1$ в точку $0$ и $1$ в $\infty$.
Прошу, объясните, пожалуйста.

Второй вопрос по этой теме:
Та же самая задача, только даны дополнительные условия:
$w(1) = 1$
$w(-1) = 1$
$w(0) = -i$.
Для чего дана третья точка? Если она ни на что не влияет? Ведь ответ получается прежним.

Третий вопрос по этой теме:
Та же задача, только дополнительные условия следующие:
$w(\frac i 2) = 0$
$\arg(w'(\frac i 2)) = - \frac {\pi} 2$
В данном случае вообще не знаю как решать.