Отображение круга

[Ward]

Здравствуйте!

Найти общий вид дробно-линейных отображений круга $|z-z_0|<R$ на круг $|w|<1$

Моя попытка решения: Пусть некоторая точка $a$ перешла в центр единичной окружности, т.е. в 0 и некоторая точка из границы первой окружности (например $z_0+Re^{i\theta}$) в точку 1 и $\infty$ перешла в $b$. Получаем таблицу:

$$\begin{array}{c|c} z & w \\ \hline a&0\\ z_0+Re^{i\theta}&1\\ \infty&b\\ \end{array}$$

Составляем двойное отношение и получаем:

$$\dfrac{z-a}{z-(z_0+Re^{i\theta})}\cdot \dfrac{\infty-(z_0+Re^{i\theta})}{\infty-a}=\dfrac{w-0}{w-1}\cdot \dfrac{b-1}{b}$$

Скажите пожалуйста верны ли мои рассуждения или нет?

[мат-ламер]

Ward
Скажу честно - я в этом не специалист и ничего у Вас не понял. А нельзя ли проще решить - посредством переноса и масштабирования?
А Вам нужен общий вид? Тогда ещё добавить поворот.

[Ward]

мат-ламер
В этом я тоже не специалист и недавно назал изучать ТФКП и пока не совсем его хорошо понимаю.
А как это посредством переноса и масштабирования? Можно подробнее?

[мат-ламер]

Ну сначала перенести круг на $-z_0$. Тогда он будет с центром в нуле. Затем умножить его на $R^{-1}$. Тогда он будет единичного радиуса. Затем при желании можно будет его повращать - умножить на число с единичным модулем. Но так Вы получите какое-то преобразование, которое переводит один круг в другой. А Вам надо найти общий вид таких преобразований. Какие будут идеи?

-- Чт дек 13, 2012 19:10:19 --

Отталкиваться надо от общего вида дробно-линейного преобразования и смотреть, как оно преобразовывает - куда и на сколько сдвигает и т.д.

[Ward]

мат-ламер
Правильно ли я Вас понял?
Вы круг $|z-z_0|<R$ превратили в единичный круг и затем нужно найти общий вид ДЛО единичного круга в себя верно? И потом из этого ДЛО получить формулу ДЛО для круга $|z-z_0|<R$ или я ошибаюсь?

[ewert]

Ward в сообщении #657989 писал(а):

и $\infty$ перешла в $b$.

Это лишено смысла -- бесконечность никакого отношения к окружности не имеет.

Найдите вид отображения для частного случая, когда на входе круг тоже единичный с центром в нуле. Искать его надо в виде $w=\dfrac{z-a}{bz+c}$, где $|a|<1$, в остальном же $a$ произвольно. Потребуйте, чтобы при всех $|z|=1$ выполнялось $|w|=1$, т.е. $|z-a|^2=|bz+c|^2$. Раскройте скобки, потребуйте, чтобы всё сокращалось и вытащите отсюда уравнения на $b$ и $c$. Их окажется два: одно вещественное и одно комплексное, т.е. параметры $b$ и $c$ будут выражаться через $a$ однозначно с точностью одного вещественного параметра. Причём поскольку это известно -- заранее ясно, что это будет за параметр: естественно, общий для $b$ и $c$ множитель вида $e^{i\varphi}$.

[Ward]

ewert
Я несколько раз прочитал Ваше сообщение, но кое-какие места мне остались непонятны.
Я вот нашел общий вид дробно-линейного отображения автоморфизмов единичного круга. Это будет $w=e^{i\theta}\dfrac{z-a}{1-\bar{a}z},$ где $|a|<1$

[ewert]

Ward в сообщении #658081 писал(а):

Я вот нашел общий вид дробно-линейного отображения автоморфизмов единичного круга. Это будет $w=e^{i\theta}\dfrac{z-a}{1-\bar{a}z},$ где $|a|<1$

Нашли или содрали?... Лучше бы вообще-то первое.

А дальше -- что. Уж перевести произвольный-то круг в стандартный -- задача тривиальная.

[Ward]

ewert
Я нашел сам это, т.е. доказал.
Получаем, что это дробно-линейное отображение имеет вид

$$w=e^{i\theta}\dfrac{\frac{z-z_0}{R}-a}{1-\bar{a}\frac{z-z_0}{R}}=e^{i \theta}\dfrac{z-z_0-aR}{R-\bar{a}(z-z_0)}$$

Но а почему-то в книге ответ такой: $w=Re^{i\theta}\dfrac{z-a}{R^2-(z-z_0)(\bar{a}-\bar{z}_0)}$, где $|a-z_0|<R$
Скажите пожалуйста, а где у меня неверно?

[ewert]

Ward в сообщении #658186 писал(а):

Скажите пожалуйста, а где у меня неверно?

Лень. Учтите лишь, что у Вас и в книжке -- разные $a$; ну и попытайтесь согласовать.

[Ward]

ewert
Большое Вам спасибо за помощь и терпение! Все понял! Согласование я понял!
Еще раз благодарю Вас искренне!

[PuttyHard]

Здравствуйте! У меня то же задание. Вроде со всем разобрался, только не пойму как выразить b, c из этого:

Цитата:

Раскройте скобки, потребуйте, чтобы всё сокращалось и вытащите отсюда уравнения на $b$ и $c$ . Их окажется два: одно вещественное и одно комплексное

Я просто не совсем понял как вытащить уравнения из этого равенства, подскажите пожалуйста.

[a_nn]

Коэффициенты приравнять.

[PuttyHard]

a_nn в сообщении #726304 писал(а):

Коэффициенты приравнять.

Кхм... Не многословно... Ну, то что Вы сказали как раз понятно из фразы

Цитата:

чтобы всё сокращалось

Непонятно как это сделать именно, и почему уравнений должно быть два, ведь коэффициентов 3.
Я попробовал это сделать и не понял почему выше(и в ответе) $c$ получилось равным сопряженному числу к $a$. Мне стыдно показывать, что у меня получилось, я тупо раскрыл скобки и попытался учесть все три условия(просто приравнивание коэффицентов, возможно тут проблема?), но получились только значения $c=$ $a$ и $-a$