Преобразование Лапласа.

[Scrible]

Помогите довести до ума.

Решить операционным методом интегральное уравнение Вальтера с ядром специального вида:
$ \varphi (x)=e^{-x} + \frac {1} {2} \cdot \int\limits_0^x (x-t)^2 \varphi(t) dt $
Ход решения:
$\varphi (x) \Doteq \Phi (p)$
$e^{-x} \Doteq \frac {1} {p+1}; \int\limits_0^x (x-t) \varphi (t) dt \Rightarrow f(x) * \varphi (t)$-свертка.$ $ \Rightarrow x^2 * \varphi(t) \Doteq \frac {1} {p^3} * \Phi(p)$
$ \Phi (p) = \frac {1} {p+1} + \frac {1} {2} \cdot \frac {1} {p^3} * \Phi (p)$
Находим $\Phi(p)$:
$\Phi (p) = \frac {2p^3} {(p+1)(2p^3-1)} = \frac {p^3} {(p+1)(p^3- \frac {1} {2})}= \frac {p^3} { (p+1)(p- \frac {1} {\sqrt [3] 2})(p^2+\frac {p} {\sqrt [3] 2}+\frac {1} {\sqrt[3] 4})}$

$\varphi(x)$ методом разложения на дроби дает непонятный результат, а вычетами имеем комплексную часть. Может где ошибся.

[sup]

Вы ошиблись в свертке с $x^2$. Там есть некий множитель.

[Scrible]

Да вы правы, какой промах.
$t^n \Doteq \frac {n!} {p^{n+1}}$
$\Phi (p) = \frac {1} {p+1} + \frac {1} {2} \cdot \frac {2} {p^3} * \Phi (p)$
Тогда:
$\Phi (p) = \frac {p^3} {(p+1)(p^3-1)} = \frac {p^3} {(p+1)(p-1)(p^2+p+1)}$
Кому интересен окончательный вариант:
$f(t)=\frac {1}{2} e^{-t}+\frac{1}{6}e^t+\frac {1}{3}e^{-\frac {t}{2}}\sin {\frac {\sqrt {3}} {2}}t-\frac{1} {3\sqrt{3}}e^{\frac {t}{2}}\sh \frac{\sqrt{3}}{2}}t$

[ewert]

Ещё полезно помнить, что того Вальтера звали Вольте'ррой.