Здравствуйте. Помогите пожалуйста разобраться в доказательстве теоремы:
Доказательство из Курса математического анализа том 2 Никольского С.М.:
Пусть
![$E' \subset E$ $E' \subset E$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/1/d31506bf620f4bc38b00f2e7ca2f8c8882.png)
,
![$\mu E' = \mu E$ $\mu E' = \mu E$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/f/92f883e7f4fa7cf6c4e947a4ffa5c62f82.png)
- множество, на котором f конечна. На нем можно определить, как мы знаем, неотрицательные функции
![$f_+,f_- \in L(E')$ $f_+,f_- \in L(E')$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/b/dab1f2369f771aaed16eb410f7454b5c82.png)
, для которых верно:
![$|f(x)| = f_+(x) + f_-(x)$ $|f(x)| = f_+(x) + f_-(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/e/b7eedc18cec10a9956181fdf8ba1d81282.png)
,
![$f(x) = f_+(x) + f_-(x)$ $f(x) = f_+(x) + f_-(x)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/3/d9376ba89c467d41467ff9747f1a539582.png)
[/c]
Отсюда
![$|f| \in L(E')$ $|f| \in L(E')$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/c/b7cbc09b77dd6b2e31b782f07e143ea782.png)
, следовательно, также
![$|f| \in L(E)$ $|f| \in L(E)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/4/9e45170f1a2395fb79ca4467916dc7c682.png)
. Кроме того, выполняются равенства:
![$$\int_{E'} |f| dx= \int_{E'} f_+ dx + \int_{E'} f_- dx$$ $$\int_{E'} |f| dx= \int_{E'} f_+ dx + \int_{E'} f_- dx$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/6/9261a0ae8c4be08b6e1cc24821c4ddaa82.png)
,
![$$\int_{E'} f dx =\int_{E'} f_+ dx - \int_{E'} f_- dx$$ $$\int_{E'} f dx =\int_{E'} f_+ dx - \int_{E'} f_- dx$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/8/328be67720004c99bfe82f408c1af62382.png)
из которых, если учесть, что интегралы от
![$f_+$ $f_+$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/6/dc6b28bb170d52983811e0240f00b58382.png)
и
![$f_-$ $f_-$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/1/6d1c7e3ee450287d896b9199e4cc000382.png)
суть не отрицательные числа, непосредственно следует исходное неравенство с
![$E'$ $E'$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/0/7f081d1835e90a8884079517a9963dde82.png)
вместо
![$E$ $E$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/d/84df98c65d88c6adf15d4645ffa25e4782.png)
, но тогда это неравенство верно и для
![$E$ $E$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/d/84df98c65d88c6adf15d4645ffa25e4782.png)
.
А теперь вопросы:
Почему мы можем определить
![$f_+,f_- $ $f_+,f_- $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/7/7e747708813a07fc5bf26d317079217682.png)
так чтобы они были интегрируемы? Что здесь означает "конечная функция"? И почему мы можем сказать, что если неравенство выполняется для
![$E' \subset E$ $E' \subset E$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/1/d31506bf620f4bc38b00f2e7ca2f8c8882.png)
, то выполняется и для
![$E$ $E$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/d/84df98c65d88c6adf15d4645ffa25e4782.png)
?
P.S.
![$$
f_+=\begin{cases}
f(x),&\text{если $x\geqslant0$;}\\
0,&\text{если $x<0$;}
\end{cases}
$$ $$
f_+=\begin{cases}
f(x),&\text{если $x\geqslant0$;}\\
0,&\text{если $x<0$;}
\end{cases}
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/9/1b91ff3382f1c03c7f22f5f6a6cc796082.png)
-- 12.12.2012, 21:05 --UPD "конечная функция":
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
конечная на
![$E$ $E$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/d/84df98c65d88c6adf15d4645ffa25e4782.png)
, т.е. приводит в соответствие каждой точке
![$x \in E$ $x \in E$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/c/0cc0f40ea1f4a3f8e8c1ecdbb1085cf682.png)
конечное число.