Чем отличается базис от линейной оболочки?

[mr.tumkan]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться... Чем отличается базис от линейной оболочки?

Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.

Линейная оболочка — это набор векторов, которые задают линейное подпространство. Строго говоря, линейная оболочка — это множество всех линейных комбинаций данных векторов.

Я вот никак не пойму отличие. Может покажите на примере?

[olenellus]

mr.tumkan в сообщении #657585 писал(а):

Линейная оболочка — это набор векторов, которые задают линейное подпространство.

Откуда дровишки?

mr.tumkan в сообщении #657585 писал(а):

Строго говоря, линейная оболочка — это множество всех линейных комбинаций данных векторов.

А вот это правильно.

[fancier]

В $\mathbb{R}^n$ базис состоит из $n$ векторов, а линейная оболочка -- из всех векторов в $\mathbb{R}^n$ (которое несчетно при $n>0$).

[olenellus]

Поправлю предыдущего оратора: "а линейная оболочка, натянутая на этот базис..."
А то мало ли линейные оболочки для каких наборов векторов можно рассмотреть.

[mr.tumkan]

olenellus в сообщении #657591 писал(а):

Откуда дровишки?

Отсюда
http://matmetod.ru/2010/10/30/linal/

[fancier]

olenellus в сообщении #657595 писал(а):

Поправлю предыдущего оратора: "а линейная оболочка, натянутая на этот базис..."
А то мало ли линейные оболочки для каких наборов векторов можно рассмотреть.

Да, точно, забыл указать

[olenellus]

Читайте лучше учебники, а не интернет-мусор.

[mr.tumkan]

Ок, спасибо!.

Вот если у нас есть Евклидово пространство $\mathbb{R}^8$ и его подпространство $L$, которое задано как линейная оболочка двух векторов.

$\vec a =(0,1,1,1,1,1,1,1)^T$

$\vec b=(1,0,0,0,0,0,0,0)^T$

Вот базисом в $L$ будут эти два вектора? А что было бы, если бы они были бы линейно зависимы? Тогда базис понятно, что состоял бы из одного вектора, но вот линейная оболочка из двух или одного?

[olenellus]

Линейная оболочка состояла бы из $2^{\aleph_0}$ векторов, как и в первом случае. Однако она была бы одномерным линейным пространством (одномерное подпространство $\mathbb{R}^8$, т. е. прямая, проходящая через 0).

Если два вектора линейно зависимы, то один входит в линейную оболочку другого, не так ли?

[fancier]

Цитата:

А что было бы, если бы они были бы линейно зависимы? Тогда базис понятно, что состоял бы из одного вектора

Вообще говоря, нет.

Цитата:

но вот линейная оболочка из двух или одного?

Ни один из вариантов, вообще говоря, не правильный.

[mr.tumkan]

Спасибо, а что такое $2^{\aleph_0}$?

-- 12.12.2012, 19:49 --

fancier в сообщении #657621 писал(а):

Цитата:

А что было бы, если бы они были бы линейно зависимы? Тогда базис понятно, что состоял бы из одного вектора

Вообще говоря, нет.

А почему нет? Я имел ввиду базис в $L$

[olenellus]

Ну да, действительно, если оба вектора нулевые, то линейная оболочка будет состоять из одного вектора, а басис будет пустым множеством.

-- Ср дек 12, 2012 18:51:26 --

mr.tumkan в сообщении #657623 писал(а):

Спасибо, а что такое $2^{\aleph_0}$?

Мощность континуума.

[mr.tumkan]

Ахахаха, точно, спс=) Может вообще не быть базиса, нольмерное подпространство. А такое бывает?)) Все вектора - нулевые векторы...

[Joker_vD]

$\{0\}$ — вполне себе векторное пространство.

[olenellus]

Примените к линейному пространству, состоящему из единственного элемента, приведённое Вами определение базиса.