Асимптотика корня

[primerkin]

Добрый вечер!
Необходима ваша помощь!
Мне нужно найти асимптотику $n$-ого положительного корня уравнения $\pi x=\tg x$

Как я понял, при больших $n$ я могу записать: $x_{n}\approx \frac{(2n+1)\pi}{2}$.
А что дальше делать?
Спасибо заранее!!

[ИСН]

В какую сторону дальше? В одном из смыслов "дальше" будет какая-то $...-{C\over n}$.

[venco]

Представьте корень как вот то, что вы написали, плюс маленькая поправка, и подставьте в уравнение.

[primerkin]

т.е. я записываю $x_{n} = \frac{(2n+1)\pi}{2} + o(1)$, так?
А затем я подставляю в уравнение, но тангенс же не определен в этих точках....?

[venco]

Нет. Вот так:
$x_{n} = \frac{(2n+1)\pi}{2} + y_n$
Подставьте, и найдите как ведёт себя $y_n$.

[ИСН]

Лучше минус.

[primerkin]

Хорошо. Я записал:

$$\tg (\frac{(2n+1)\pi}{2}+y_{n}) = \pi (\frac{(2n+1)\pi}{2}+ y_{n})$$

Тогда левая часть равенства - это $-\ctg (y_{n})$
Теперь видимо нужно разложить котангенс в ряд Тейлора, допустим для первого члена:

$$-\ctg(y_{n}) = -(\frac{1}{y_{n}}+o( \frac{1}{y_{n}}))$$

Тогда получаю:

$$-(\frac{1}{y_{n}}+o( \frac{1}{y_{n}})) = \frac{(2n+1)\pi^{2}}{2}(1+\frac{y_{n}}{\frac{(2n+1)\pi^{2}}{2}})$$

А что делать дальше?
Спасибо!

[ИСН]

Дальше отбрасывайте малые части (учитывая, что и сам $y_n$ мал по сравнению с единицей) и приравнивайте остальное.

[primerkin]

Спасибо за ответ!
Извините, я не очень понял, что именно я могу отбросить.
Не могли бы вы немножко поподробнее объяснить?

[ИСН]

Короче, ищите его в виде $y_n=-{C\over n}+o({1\over n})$.