[ТФКП]Соотношение ортогональности для полиномов Гойна

[Bulinator]

Короткое введение

Уравнение Гойна:

$$ H''+\left(\frac{\gamma}{z}+\frac{\delta}{z-1}+\frac{\epsilon}{z-a}\right)H'+\left(\frac{\alpha\beta z-q}{z(z-1)(z-a)}\right)H=0\qquad\qquad\qquad(1) $$

Есть еще extra condition $\gamma+\delta+\epsilon=\alpha+\beta+1$.
Решение этого уравнения называется функцией Гойна которая представляется в виде ряда $\sum\limits_{k=0}^\infty C_k z^k$. Однако, вообще говоря, эти фунцкии нерегулярны в сингулярностях. Чтобы сделать их такими, нужно, как обычно это делается, обрезать ряд и получить полином.
Для этого ставим $C_{n+1}=C_{n+2}=0$, что приводит к $\alpha=-n$ и к какому-то уравнению $n$-й степени на $q$. Решения обзываем $q_{nk}$. Пока все понятно.

Далее, большой науке известны соотношения ортогональности для полиномов. Копируем из справочника[1] соотношения ортогональности для двух полиномов

$$w_\alpha(z)=H(a,q_{n_\alpha m_\alpha};-n_\alpha,\gamma,\delta,z),\quad \alpha=1,2 ,\quad |n_1-n_2|+|m_1-m_2|\neq 0.$$

Они имеют следующий вид:

$$ \int\limits_{{\cal L}}ds\int\limits_{{\cal L}'}dtW(s,t) w_1(t)w_2(t)w_1(s)w_2(s), \qquad\qquad\qquad(2) $$

где весовая функция:

$$ W(s,t)=(s-t)(st)^{\gamma-1}((s-1)(t-1))^{\delta-1}((s-a)(t-a))^{\epsilon-1}\qquad\qquad\qquad\qquad(3) $$

а ${\cal L}$ и ${\cal L}'$- контуры Похгаммера, которые обходят по одной паре сингулярностей: $\{0,1\},\{0,a\},\{1,a\}$.



Тут начинается, собственно то, обо что я моск сламал.

Проверьте, пожалуйста, следующие рассуждения.

Допустим $\delta,\epsilon>1$ . Тогда единственный полюс подинтегрального выражения (2), который у нас м.б. есть находится в нуле. Если мы возьмем за пару сингулярности $(0,1)$, то (2) превращается в тождество(просто получим интеграл от аналитической ф-ии по замкнутому контуру).
С другой стороны, если даже взять контур содержащий точку 0, он разматывается(ввиду отсутствия второй сингулярности) и превращается в закрытый контур не содержащий точки 0. Тут я могу ошибаться, но даже если я ошибаюсь и мы имеем контуры содержащие 0, весовая функция (3) антисимметрична относительно замены $s\leftrightarrow t$, а значит- все равно получим 0.

Тогда получается, что даже если $n_1=n_2$ и $m_1=m_2$ интеграл (2) равен 0 и эти соотношения ортогональности- бессмысленный набор символов. Так?

[1] NIST handbook of mathematical functions, Cambridge University Press, 2007

[Bulinator]

Господа математики, вам же на этот вопрос ответить проще простого. Перфразирую вопрос. Имеется комплексная функция от двух комплексных переменных:

$$f(s,t)=(s-t)(st)^\gamma P_n(s)P_n(t),$$

где $P_n$- полином $n$-й степени а $\operatorname{Re}\gamma< -n$. Заметьте, $f$- антисимметрична относительно перестановки переменных.

Теперь возьмем любую точку на плоскости $s$ отличную от нуля и нарисуем вокруг нее и нуля контур Погхаммера ${\cal L}$. Сделаем тоже самое для $t$ и обозначим контур через ${\cal L}'$. Верно ли утверждение, что

$$\int\limits_{\cal L}ds\int\limits_{{\cal L}'}dtf(s,t)=0?$$

[Bulinator]

Ну и не надо. Я сам разобрался!