При каких а единственное решение системы?

[Hi4ko]

Собственно, система:
$(|x|+1)a = y + \cos(x); \\ \sin(x)^4 + y^2 = 1;$

Я уверен, что для единственного решения $x = 0;$

$a = y + 1; \\ y^2 = 1;$

Откуда $a = 0 || a = 2$

Но мне сказали, что $a \neq 0 $

Почему?

[gris]

Когда $a=0$ по иксу остаётся только тригонометрия.

+++ Собственно, равенство икса нулю всего лишь необходимое условие.

[ИСН]

Может, секта такая - антинулиты?

[Hi4ko]

gris в сообщении #656751 писал(а):

Когда $a=0$ по иксу остаётся только тригонометрия.

+++ Собственно, равенство икса нулю всего лишь необходимое условие.

А какие условия тогда ещё понадобятся?

[gris]

Для существования единственного решения необходимо, чтобы один из корней по иксу равнялся нулю. Ну да, из чётности задачи по иксу это следует. Но надо удостовериться, что нет других корней по обоим переменным. Тригонометрия — она периодична насквозь.
Да и при $a=2$ тоже надо доказать, что нет ещё парочки корней.
В этой задаче основная трудность и заключается логическом обосновании ответа.

[Hi4ko]

gris в сообщении #656764 писал(а):

Для существования единственного решения необходимо, чтобы один из корней по иксу равнялся нулю. Ну да, из чётности задачи по иксу это следует. Но надо удостовериться, что нет других корней по обоим переменным. Тригонометрия — она периодична насквозь.
Да и при $a=2$ тоже надо доказать, что нет ещё парочки корней.
В этой задаче основная трудность и заключается логическом обосновании ответа.

Здесь я Вас не понимаю.
Вот, я подставил $x = 0;$ и получил систему, которую написал в самом первом сообщении.

Что с этой системой потом делать тогда?

[gris]

Подставьте по очереди необходимо полученные значения $a$ в систему и снова порешайте её. Не будет ли там других корней, кроме $x=0$?

[Hi4ko]

gris в сообщении #656791 писал(а):

Подставьте по очереди необходимо полученные значения $a$ в систему и снова порешайте её. Не будет ли там других корней, кроме $x=0$?

Ну вот я сделал, как Вы сказали. Получил, что только двойка подходит.

Правильно?

[gris]

При $a=0$ уравнение имеет ещё кучу решений, например $(0,-1),(\pm\pi,1)$ и так далее. То есть $a=0$ не подходит.
Почему при $a=2$ решение $(0,1)$ единственно?

[Hi4ko]

gris в сообщении #656797 писал(а):

При $a=0$ уравнение имеет ещё кучу решений, например $(0,-1),(\pm\pi,1)$ и так далее. То есть $a=0$ не подходит.
Почему при $a=2$ решение $(0,1)$ единственно?

Подставлю $y$ из первого уравнения во второе.

Получу $2|x| + 2 - \cos(x) = \sqrt{1- \sin(x)^4}$

Т.к. косинус и модуль - чётные функции, то получается, что здесь будут противоположные решения при $x \neq 0$. Значит, $x = 0$

Верно?

[gris]

Нет. Здесь надо рассуждать так: предположим, что при $a=2$ существует ещё одно решение. И показать, что если $x\ne 0$, то решения по $y$ не существует из-за неравенств. К сожалению, ложусь спать

[Hi4ko]

gris в сообщении #656809 писал(а):

Нет. Здесь надо рассуждать так: предположим, что при $a=2$ существует ещё одно решение. И показать, что если $x\ne 0$, то решения по $y$ не существует из-за неравенств. К сожалению, ложусь спать

Спокойной ночи. Спасибо за помощь

-- 11.12.2012, 02:31 --

Всё, доказал)

[Praded]

Максимальное значение правой части и минимальное значение левой части равны $1$. Отсюда $x=0$.

[gris]

Да, примерно так. Но тут одних слов мало. Для левой части надо строго доказать и само значение минимума, и то, что он достигается ровно в одной точке.
Я думаю,что только хорошо подготовленный школьник сможет написать безупречное решение задачи, хотя просто угадать верный ответ технически не сложно.

[ewert]

gris в сообщении #656883 писал(а):

Для левой части надо строго доказать и само значение минимума, и то, что он достигается ровно в одной точке.

Не надо -- достаточно того, что левая часть строго больше единицы везде, кроме нуля.