Экспансия в космос.

[dovlato]

EtCetera в сообщении #656997 писал(а):

dovlato в сообщении #656914 писал(а):

Допустим, Если он может прыгнуть в любом направлении, то прыгая почти против направления вращения, можно добиться достаточно малой скорости полета, что обеспечит возможность "промотать под собой" несколько полных оборотов, переместившись на любое необходимое расстояние; высота прыжка при этом вплотную приближается к $R$, т.е. полет производится почти по диаметру. Если же подпрыгивать разрешается только вертикально, то при $u=\omega R$ высота полета составит $R\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\approx 0{,}293R$, а расстояние, на которое сместится космонавт вдоль пола $\text{---}$ $R\left(\frac{\pi}{2}-\sqrt{2}\right)\approx 0{,}157R$.

При условии $u<R\omega$ нескольких оборотов у меня не получается.
Лучше, по-моему, начинать решение с вычисления времени прыжка.

[nikvic]

dovlato в сообщении #657014 писал(а):

Лучше, по-моему, начинать решение с вычисления времени прыжка

А может, с траектории

[dovlato]

nikvic в сообщении #657025 писал(а):

dovlato в сообщении #657014 писал(а):

Лучше, по-моему, начинать решение с вычисления времени прыжка

А может, с траектории

А чем вам прямая не нравится?

[nikvic]

dovlato в сообщении #657094 писал(а):

А чем вам прямая не нравится?

Нра. В виде хорды.

[miflin]

nikvic в сообщении #657097 писал(а):

dovlato в сообщении #657094 писал(а):

А чем вам прямая не нравится?

Нра. В виде хорды.

Посмотрим из разных СО.



$xoy$ - СО "неподвижных звезд".

$x'oy'$ - СО станции.

$x'=x\cos\omega t+y\sin\omega t$

$y'=y\cos\omega t-x\sin\omega t$

Если в xoy движется по прямой тело - $x=Vt,\,y=h$, то в СО станции:

$x'=Vt\cos\omega t+h\sin\omega t$

$y'=h\cos\omega t-Vt\sin\omega t$

Исключить t, похоже, проблема...

Если V=0 (тело покоится относительно звезд), имеем траекторию в СО станции:

$x'^2+y'^2=h^2$ - спутник на круговой орбите.

[dovlato]

Жаль, я рисовать здесь не умею. Тут лучше попроще, без матриц поворота..
С т.зрения звёзд, в момент прыжка скорость космонавта есть векторная сумма скорости $\vec V$, возникшей за счёт вращения, $|\vec V|=R\omega$
(она - по касательной), и вектора $\vec u$, который может быть повёрнут относительно $\vec V$ под любым углом от 0 до 180 градусов.
Скорость прыгуна относительно звёзд постоянна всё время полёта.
Сразу определяется и направление, и скорость прыгуна, и длина хорды.

[miflin]

dovlato в сообщении #657224 писал(а):

Жаль, я рисовать здесь не умею.

Я здесь тоже не умею. Рисую у себя в Paint (штатный редактор в винде),
сохраняю в jpg, загружаю в http://ipicture.ru/, а появившуюся ссылку,
самую верхнюю, вставляю здесь в тег img - см. кнопочку.

dovlato в сообщении #657224 писал(а):

Сразу определяется и направление, и скорость прыгуна, и длина хорды.

Меня, собственно, не это интересовало, а именно уравнение траектории
в СО станции. Но видит око, да зуб неймет...

[nikvic]

miflin в сообщении #657226 писал(а):

именно уравнение траектории

Что-то вроде спирали Архимеда. Возможно, удобны полярные координаты.

[EtCetera]

dovlato

dovlato в сообщении #657014 писал(а):

При условии $u<R\omega$ нескольких оборотов у меня не получается.

Обозначим $\alpha$ $\text{---}$ угол к полу (точнее, касательной к полу в точке подпрыгивания), под которым космонавт летит (сразу) после выполнения прыжка. Тогда время прыжка равно (в одном из двух вариантов) $T=\dfrac{2R\sin\alpha}{v\cos\alpha-\sqrt{u^2-v^2\sin^2\alpha}}$ ($v\sin\alpha\le u<v$). При любом $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ функция $T(u)$ является возрастающей от $\dfrac{2R\tg\alpha}{v}=\dfrac{2\tg\alpha}{\omega}$ до бесконечности. Т.е. возможно пропустить любое число оборотов, можно даже так подобрать $u$ и $\beta$ (угол к полу, под которым производится прыжок), чтобы космонавт оказался в той же точке пола, из которой прыгнул.

[dovlato]

EtCetera, спасибо, убедили). Я с расчётом у себя наврал. Но, подумамши чуток, теперь уже и без расчётов понятно, что при $|\vec V| $, близком к $|\vec u|$, когда вектора смотрят почти навстречу друг другу, можно получить время как угодно большое. И попасть в любую желаемую точку. Во дела.. всего-то и хотел - насмешить.
А траектория в местной системе.. Ну, например, написать, как miflin, в инерциальной СО обе координаты вектора перемещения, а потом умножить этот вектор на м-цу поворота $T(\omega t).$ Получится параметрическое уравнение. Спираль, видимо, какая-то.
А вот кстати, занятный вопрос: спираль симметричной будет в каком-нибудь смысле или нет?

[nikvic]

dovlato в сообщении #657252 писал(а):

спираль симметричной будет в каком-нибудь смысле или нет?

Запишите её парам. уравнения (через время движения от середины хорды) в полярной системе. Угол - сумма нечётных функций, радиус - чётная.

[nikvic]

[miflin]

Только собрался строить график, nikvic уже сделал. Спасибо!

nikvic в сообщении #657362 писал(а):

Запишите её парам. уравнения (через время движения от середины хорды)

Собственно, это было сделано здесь.
Легко убедиться, что $x'(-t)=-x'(t),\,y'(-t)=y'(t)$.

[EtCetera]

Для имитации земного притяжения на ободе в этой задаче использовалась центробежная сила. А при перемещениях между ободом и осью вращения (где должны пристыковываться космические корабли) можно использовать силу Кориолиса, для этого при езде вдоль радиуса достаточно разогнаться всего-то до $v_{R}=\frac{g}{2\omega}=\frac{gT}{4\pi}\approx 15{,6}\frac{\text{м}}{\text{с}}\approx 56{,}1\frac{\text{км}}{\text{ч}}$. Что характерно, держаться за дорожку какими-то зацепами надо только в самом начале пути, а потом можно просто наслаждаться поездкой. Вблизи обода дорожка, конечно, должна с ним плавно сопрягаться. Зрелище со стороны наблюдателя на ободе фантасмагорическое, напоминающее гравюры Эсхера. В данном случае, конечно, станция небольшая. С увеличением размеров требуемая скорость движения растет: $v_{R}=\frac{\sqrt{g R}}{2}$. Однако для более-менее обозримых размеров станций остается в пределах современных автомобильных скоростей.
Таким образом можно перемещать не только людей, но и грузы. В этом случае, скорости, конечно, можно уменьшить. Если в каком-то месте станции (не на ободе) расположить резервуар с водой и направить по радиусу от него к ободу сливную трубу, то на небольшом расстоянии от резервуара (когда вода наберет достаточную скорость, чтобы сильно не разбрызгиваться) трубу вполне может заменить желоб (космический акведук).
Такие перемещения туда-сюда будут замедлять-разгонять вращение станции. При нескомпенсированном потоке грузов в одну сторону придется ее "подводить" как часы.

[dovlato]

После такой описанной "Звезды КЭЦ" естественным образом возникает вопрос.
При более-менее случайном стационарном потоке грузов от центра и к центру -
- как будет в среднем изменяться угловая скорость вращения $\omega$ станции?